杜教筛

前置知识

线性筛

详见线性筛

数论函数&狄利克雷卷积

详见数论函数&狄利克雷卷积

欧拉函数

详见欧拉函数

莫比乌斯函数

详见莫比乌斯函数

杜教筛

杜教筛的作用

首先我们要知道，杜教筛是拿来干什么的，其实并没有很高深，就是可以在低于线性时间的复杂度求出积性函数的前缀和。

常见的有很多，比如最常见最简单的是求 \(\mu\) ，\(\varphi...\) 等等。

杜教筛的原理

设我们现在要求积性函数 \(f\) 的前缀和 \(\large S(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)\)

那么我们再找到任意一个积性函数 \(g\) ，考虑 \(f*g\) 的前缀和：

\[\large \begin{split} &\ \ \ \ \ \sum_{i=1}^n(f*g)(i)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d\vert i}f(d)g(\frac id)\\ &=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}f(i)\\ &=\sum_{d=1}^ng(d)S(\lfloor\frac nd\rfloor) \end{split} \]

接下来我们发现这样一件事情：\(\large g(1)S(n)=S(n)\) ！

这正是我们要求的东西，于是我们考虑通过算两次来得到 \(\large g(1)S(n)\) ：

\[\large g(1)S(n)=\sum_{i=1}^ng(i)S(\lfloor\frac ni\rfloor)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\lfloor\frac ni\rfloor) \]

这时我们把前面的柿子代回去就变成了：

\[\large g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\lfloor\frac ni\rfloor) \]

那这有什么用呢？

我们发现，如果我们可以找到一个性质很好的 \(g\) ，使得 \(f*g\) 很好算，那么我们后面的部分就是一个递归+数论分块（这部分复杂度待会分析）

如果直接做，根据主定理分析可以得出时间复杂度是 \(O(n^{\frac 34})\) 的：

\[\large T(n) = \sum\limits_{i=1}^{\sqrt n} O(\sqrt i) + O(\sqrt {\frac{n}{i}})=O(n^{\frac{3}{4}}) \]

进一步优化，我们考虑线性筛预处理出前 \(m\) 个答案，然后我们再杜教筛，这样的复杂度用主定理分析是：

\[\large T(n)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nm\rfloor}\sqrt{\frac ni}=O(\frac n{\sqrt{m}}) \]

\(m\) 取到 \(\large m=n^{\frac 23}\) 时复杂度最优到：\(\large O(n^{\frac 23})\) 。

杜教筛的实现

代码长这个样子：

inline ll Getpref(int x){
	if(x<=t) return pref[x];//线性筛预处理 n^{2/3} 部分
	if(preuu[x]) return preff[x]; //unorderedmap的记忆化数组
	ll res=GetMulgf(x); //f*g的部分
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){//数论分块的部分
		r=x/(x/l);//数论分块
		res-=1ll*(GetSum(r)-GetSum(l-1))*Getpref(x/l); //计算后面部分
	}
	return preff[x]=res;//记忆化
}

杜教筛的应用条件

首先我们需要可以快速求出前 \(\large n^{\frac 23}\) 项的前缀和。

其次需要我们可以找到一个性质很好的 \(g\) 满足：

\(1.\) \(f*g\) 的前缀和可以快速计算。

\(2.\) \(g\) 的前缀和可以快速计算。

（扩展：\(Min25\)筛似乎就没有这么苛刻的条件，并且效率也不错）

练手题目

题面

在低于线性时间内求出：

\[\large \sum_{i=1}^n\varphi(i) \ \ \ \ \ \ 以及\ \ \ \ \ \ \ \sum_{i=1}^n\mu(i) \]

杜教筛求欧拉函数前缀和

考虑到有 \(\varphi*I=id\) ，于是设 \(g=I\) ，发现剩下的都非常好求：

\(id\) 的前缀和就是等差数列求和，\(I\) 的前缀和就是区间长度。

代码：

inline ll Getprephi(int x){
	if(x<=t) return prep[x];
	if(prepp[x]) return prepp[x]; 
	ll res=1ll*x*(x+1)/2;
	for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){ 
		r=x/(x/l);
		res-=1ll*(r-l+1)*Getprephi(x/l); 
	}
	return prepp[x]=res;
}

杜教筛求莫比乌斯函数前缀和

考虑到有 \(\mu*I=\varepsilon\) ，于是设 \(g=I\) ，剩下的也都很好求：

\(\varepsilon\) 前缀和就是 \(1\) ，\(I\) 前缀和同上。

代码：

inline ll Getpremu(int x){
	if(x<=t) return preu[x];
	if(preuu[x]) return preuu[x]; 
	ll res=1; 
	for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){
		r=x/(x/l);
		res-=1ll*(r-l+1)*Getpremu(x/l); 
	}
	return preuu[x]=res;
}

总结

杜教筛就讲到这里了，如果想知道更多扩展可以见 莫比乌斯函数&欧拉函数&筛法 综合运用

这篇文章大部分其实都参考自浅谈杜教筛，这里贴个链接。