覆盖引理的证明

覆盖引理   

令 $E\subset F\subset B_1$ 为可测集. 假设 $\delta\in(0,1)$, 且满足
(1)$|E|<\delta|B_1|$;
(2)对任意的开球 $B\subset B_1$, 如果 $|E\cap B|\geq\delta|B|$, 则 $B\subset F$.
那么 $|E|\leq\mu|F|$ 对某个常数 $0<\mu<1$.

证明: 不失去一般性,  我们假设 $|E|\neq0$. 则由Lebesgue微分定理可知, 存在 $|\tilde{E}|$ 使得 $|\tilde{E}|=|E|$， 且对任意的 $x\in \tilde{E}$, 总存在 $B_x\subset B_1$ 满足 $x\in B_x$ 以及 $|E\cap B_x|=\delta|B_x|$. (其存在性由形变连续性和介值定理可知.M.V.Safonov)  对于这样的球族，  注意到他们的半径都不大于1, 由Vitali覆盖引理可知,  我们能选择出至多可数个球 $\{B_i\}$ 满足 $\cup_{x\in \tilde{E}} B_x\subset \cup_{i} 5B_i$. 于是可知
$|F\setminus E|\geq |(F\setminus E)\cap\cup_{i} B_i|\geq \sum_{i} |(F\cap B_i)\setminus (E\cap B_i)|=\sum_{i} (1-\delta)|B_i|\geq\frac{1-\delta}{5^n}|\cup_{i} 5B_i|\geq\frac{(1-\delta)}{5^n}|E|.$ 

因此  $|F|=|F\setminus E|+|E|\geq (1+\frac{(1-\delta)}{5^n})|E|.$ 

证毕!

证明: (另外一个证明)  我们现对上面的球族的并集来做估计.
$|\cup_{x\in \tilde{E}} B_x|=|\cup_{x\in \tilde{E}} B_x\cap E|+|(\cup_{x\in \tilde{E}} B_x)\setminus E|\geq |E|+|(\cup_{i} B_i)\setminus E|$

$=|E|+(1-\delta)\sum_i|B_i|\geq |E|+ \frac{1-\delta}{5^n}|\cup_i5B_i|\geq |E|+\frac{1-\delta}{5^n}|\cup_{x\in \tilde{E}} B_x|$.

我们有

$ (1-\frac{1-\delta}{5^n})|F|\geq (1-\frac{1-\delta}{5^n})|\cup_{x\in \tilde{E}} B_x|\geq|E|$.

 

若将引理变形如下或者其他的等价形式即对$|F|$加条件结论也总是正确的.

令 $E\subset F\subset B_1$ 为可测集. 假设 $\delta\in(0,1)$, 且满足
(1)$|E|<\delta|B_1|$;
(2)对任意的开球 $B\subset B_1$, 如果 $|E\cap B|\geq\delta|B|$, 则 $|F\cap B|\geq\tilde{\delta}|B|$, 其中 $0<\delta<\tilde{\delta}\leq1$.
那么 $|E|\leq\mu|F|$ 对某个常数 $0<\mu<1$.

 

Lihe Wang, 也给出了如下的覆盖引理:

令 $E\subset F\subset B_1$ 为可测集. 假设 $\epsilon\in(0,1)$, 且满足
(1)$|E|<\epsilon |B_1|$;
(2)对任意的 $x\in B_1$ 的开球 $B_r(x)$, 如果 $|E\cap B_r(x)|\geq\epsilon |B_r(x)|$, 则 $B_r(x)\cap B_1\subset F$.
那么 $|E|\leq 20^n\epsilon |F|$，    （且$|E|\leq (1-\frac{1-\epsilon}{20^n})|F|$.）

 证明:  见Wang的文章，与[CC] 书上的CZ分解证明一致. 如下   

Since $|E|<\varepsilon\left|B_{1}\right|$, we see that for almost every $x \in E$, there is an $r_{x}<2$ so that $\left|E \cap B_{r_{x}}(x)\right|=\varepsilon\left|B_{r_{x}}\right|$ and $\left|E \cap B_{r}(x)\right|<\varepsilon\left|B_{r}\right|$ for all $\infty>r>r_{x}$. By Vitali' covering lemma, there are $x_{1}, x_{2}, \cdots$, so that $B_{r_{x_{1}}}\left(x_{1}\right), B_{r_{x_{2}}}\left(x_{2}\right), \cdots$ are disjoint and $\cup_{k} B_{5 r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right) \cap B_{1} \supset \tilde{E}$.

From the choice of $B_{r_{x_{k}}}$, we have
$$
\left|E \cap B_{5 r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right)\right|<\epsilon\left|B_{5 r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right)\right|=5^{n} \epsilon\left|B_{r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right)\right|=5^{n}\left|E \cap B_{r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right)\right| .
$$
We also notice that
$$
\left|B_{r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right)\right| \leq 4^{n}\left|B_{r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right) \cap B_{1}\right|
$$
since $x_{k} \in B_{1}$ and $r_{x_{k}} \leq 2$.

Putting everything together,
$$
\begin{aligned}
|E| &=\left|\cup_{k} B_{5 r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right) \cap E\right| \\
& \leq \sum_{k}\left|B_{5 r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right) \cap E\right| \\
& \leq 5^{n} \sum_{k} \varepsilon\left|B_{r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right)\right| \\
& \leq 20^{n} \sum_{k} \varepsilon\left|B_{r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right) \cap B_{1}\right| \\
&=20^{n} \varepsilon\left|\cup B_{r_{x_{k}}}\left(x_{k}\right) \cap B_{1}\right| \\
& \leq 20^{n} \varepsilon|F| .
\end{aligned}
$$
This finishes the proof.

 

 

以上是不扩张球的情形，一般的如C-Z分解所诱导的测度估计引理需要扩张方体或者球，其实总是可以可以等到类似的结果. 需要注记的是，以上的原始想法都归功于Krylov和Safonov, 或者更早的(Krylov的老师)E.M.Landis, (有人曾在某本书的前言部分说Landis对于极值原理的灵活运用从未被超越）， 其他都是变体而已.