再思考
最近这些天把18年初夏的想法又付诸了一些实践，当然发现YLi的这个方法是非常好的，对于线性方程绝对可以说是达到了最好。我将它推广至fully nonlinear的情形，得到了一个很有限制性的结果，但是对于一般的却没有得到。原因何在？可能还在于非线性主项系数和类似右端项的系数他们的scaling 是完全不一样的，当然我这里似乎还要加一些别的条件，得到适用于某种具有齐次性的方程。通过讨论，已经解决了一般右端项的问题。只需要将证明稍微做一点点修改即可。当然，那会儿一时昏头钻到caff的套路里了。
最近这新闻搞得人挺难受，北京又出现感染者，有一群人被拉去隔离了。南方又发大水，房子也倒塌了不少。今年这年成是要闹哪样啊？心里堵得慌。有些烦躁。
家乡那边应该还好，不会由太大的水，哪里的水利设施在2010年左右又重新加固了。老家就在湖边的一块高地上，周围也有堤坝围着，后来首富堂哥又加固、加宽了龙提，可以走三轮车了。这是老祖宗给我们选的地方，650多年了，除了1931年的大水，也没见被淹的情况。即使是1998年的大洪水，也只是在抽水的地方刚刚漫过。这是一块好地方啊。令人怀念的故乡。
6.16. 再次使用倒推法，验证了想要的结论的正确性。事实上，这也是一种边猜边做的思想。
昨天晚上考虑的那个困惑，今天中午的时候解决了，再最典型的情况，调和函数，解决了，剩下的其实和他是一样的。这有一次使得我们对Trace的理解加深了。
6.23. 再一次体会到散度型椭圆方程和非散度型椭圆方程的区别。关于主项系数，这里面确实有太多值得诉说的东西。
关于De Giorgi Nash Morse定理的Stamppacicia推广，我觉得这里面总有一些可改进的地方，只是不知到怎么下手。再者，这个题目是很有特点的。如果换成比$W^{1,2}$ 弱一点的解，就不会再有De Giorgi估计了。这里面应该还有未曾解决的猜想。
事实上，越是最早发现的这种神奇的定理，人们往往需要很长时间来反复咀嚼，体会证明的手法，还有结论的意义。
当然还有另外一个方面，那就是朝着其他方向去推广，如Ladyzhenskaya，Serrin，Trudinger他们。
6.25. 今天算了一下Giaquinta的做法，常系数情形，我得到了dong他们的类似的结果，完全是直接迭代，不需任何技巧。这样看来这实际是一个非常强大的方法。当然也有它的局限性，感觉必须和紧方法等结合起来才会改进更多。当我考虑p-Laplace方程的推广时，想到了一个BMO的结果，没想到今天发现E. DiBenedetto and J. Manfredi 93年早就已经有这个结果了，这是我前年暑假期间看的文章，忘记了。 再看看后续其他人的工作。
对于 $g\in W^{1,p}(B_1)$, 解方程$u\in W^{1,p}(B_1)$, $1<p<\infty$,
$$\Delta_pu=0\ \ \ in\ \ \ B_1, \ \ \ \ u=g\ \ \ on\ \ \ \partial B_1$$
是否有下式成立？ $\gamma$ 是一个常数，$\forall\ \ 0<\rho<R\leq\frac{1}{2}$,
$$\left(\frac{1}{|B_\rho|}\int_{B_\rho}|\nabla u-\overline{\nabla u}_\rho|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \gamma(\frac{\rho}{R})^{\alpha_0}\left(\frac{1}{|B_R|}\int_{B_R}|\nabla u-\overline{\nabla u}_R|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}$$
应该是没啥大问题的，因为对于调和函数来讲他是对的，因此可以使用，只是不知为何没见到其他人写。可能是我看的文献太少的原因。这需要集中精力。
（7.10）细看了参考文献，发现上述结果已经被G.L.Lieberman1991年完全解决了，他还将他们推广到了一般的退化方程。
自然，有了它之后，平移挪动一下之后，就有$C^{1,\alpha_0}$ 估计成立。上式取$p=2$时是正确的，我的问题是如何配合至$1<p<\infty$呢？估计应该是对的，可以试着证明一下，这样就更能理解p-laplace方程了。wang的文章的思想本质上和上面这边文章的第5节的思想是一样的，只不过一个是从非散度方程出发，一个是从散度型方程出发，把那个测度估计作为一个关键点来描述，当然，这里面上面那个文章有几个地方没有说的特别清楚，wang的文章倒是点题了。什么意思呢？做一个迭代，如果从第k步开始它不退化，那么它就和调和函数的性质差不过，且结合前k步的性质可以得到一个逐点估计。否者，如果一直退化，那么自然就有梯度的Holder衰减了，事实上这个时候这一点的梯度一定是0，这就是退化的含义。
我们可以看看De Giorgi-Nash-Moser 定理的结论的细化。
假定 $u\in H^{1}_{loc}$是方程
$$div(A(x)Du)=0.$$
的解。
$A(x)$ 满足一致椭圆条件， 即 $\lambda|\xi|^2\leq \xi^TA(x)\xi$ 且 $|A(x)|\leq \Lambda$, 对几乎处处的$x\in\Omega$ 和任意的$\xi\in\mathbb{R}^n$.
则对任意的 $0<r\leq\frac{R}{2}$, 有
\begin{align}
\int_{B_r}|u-\overline{u}_r|^2dx &\leq Cr^2\frac{1}{|B_r|}\int_{B_r}|Du|^2dx \\
&\leq C \left(\frac{r}{R}\right)^{n-2+2\alpha}r^2\int_{B_{\frac{R}{2}}}|Du|^2dx\\
&\leq C \left(\frac{r}{R}\right)^{n-2+2\alpha}\frac{r^2}{R^2}\int_{B_R}|u-\overline{u}_R|^2dx\\
&= C \left(\frac{r}{R}\right)^{n+2\alpha}\int_{B_R}|u-\overline{u}_R|^2dx
\end{align}
这里的第一个不等式是 poincare inequality, 第二个不等式 follows from Qing Han and Fanghua Lin, 最后一个不等式是 Cacciopolli equality.
最后，易知对于任意的 $0<r<R$,
\begin{align}
\int_{B_r}|u-\overline{u}_r|^2dx\leq C \left(\frac{r}{R}\right)^{n+2\alpha}\int_{B_R}|u-\overline{u}_R|^2dx
\end{align}
此处 $C$, $\alpha$ 是只与 $n$, $\frac{\Lambda}{\lambda}$有关的常数.
针对dini的讨论，已经对最后迭代出来的项，有了些新的认识，为什么呢？这恰恰是我们加的条件，将其他多余的项目全部屏蔽了，也就是有一个它，就控制了全部的项。这非常好的解释了我们结果的意义。
06-29
首先要说，魔鬼搬家是及其厉害的！再次点赞！ 我想说有时候对于我们需要冥思苦想，但对于专家来讲，这些都是显然的。这也是华罗庚常说的话。最近这两天本科毕业设计答辩，我让一个学生去做事情，结果他也不做，只能帮着做。把我之前的计算又来了一遍。今天中午无意中，也是随便捡了个文章看了看，然后想了一会儿我的问题，ok，反例就这样成了！其实还差一些东西啊, 不过对于凸区域的理解有更进了一层，也就是说，更不需要旋转。直接在旁边画一个切的扁圆柱体即可。
07-25
最近这些日子，主要是要给我的结果找一个具有说服力的例子。还是一直和师姐在讨论，所以最终还是开悟了，把那个$L^p$ mean Dini的例子最后算好了，而且是刚刚好，开始是最$p=2$算，用Sobolev-Poincare不等式，大概算了算，觉得可以，然后马上原点附近的，我也会算了，稍微分情况讨论一下。再次，师姐提问一般的$p$怎么办？我开始以为我的方法套路可以直接用但是发现还是有一点点问题，最后还是通过L‘Hospital法则得到了我要的结果。此外澄清了一点$|x|^\alpha$ $\alpha\in(0,1)$就是$C^\alpha(B_1)$的，但却恰恰不属于相应的$W^{1,p_0}$,$p_0=\frac{n}{1-\alpha}$,其实绝大部分时候人们都是默认这些事情成立的，至少标准教科书没有提到过这一点。再者，既然$L^1$Dini的情形，我已经算的比较熟了。如果只在原点满足$L^2$meanDini，我可已得到一个逐点估计，问题是前提条件是成立的吗？事实上，这一点感觉应该是可以的，但是要找一个例子。我开始以为这个例子可能很难造？为什么呢？应为积分的具体值本身已经很难算了，想要举一个在原点附近不停间断，然后又好算的例子，似乎挺麻烦的，但是27日上午起来后，虽然很疲惫，但是，我大概用之前的例子稍微改造一下，再用一个不等式，事实上，误差也就是这两个函数的误差，差不多是导数乘以尺度那么多，二者结合起来就得到了我想要的例子。这样说明，此种情况下，其他人的定理无法推出我们的结果，这样就说明结果还是真的有些意义的。
08-24
最近这些天主要是帮人复习了一下线性代数，再次体会一下差别。国内的线性代数的教材与国外的真的是水平相差太远了。 不能多谈。再者，将实变函数的内容进行了梳理，为下学期要上的新课做准备，尽管内容不是太多，但实际上相当于我自己又学习了一遍。体会是，这里面那些东西后来常常用到，那就是重点要讲的东西。再者，大学期间学习的实变总感觉怪怪的，自己学校编的教材，结果是一堆删减，还只讲一维，然后构造L测度和积分的方式极其繁琐，美其名曰，适合初学者。其实，后来来看，适得其反啊。。。我认为内容上应该短平快，同时要多讲应用的例子，搞清楚整个脉络过程，那么事情就成功了。
构造测度和积分的方法很多，乘机比较了一下Zygmund、stein、Tao、Rudin、江、周、曹等人的教材。
