一次演算

前几天把阿开送到他外婆家后，就开始弄自己文章的事情，其实这都是1年多前的内容了。稍微整理了一下，整理之中又仔细看了看别人的文章，然后有看了看非参极小曲面的边界估计，发现Giusti的结果确实可以有一些改进的余地，关键是要做边界梯度估计，我开始想着是不是可以照着一致椭圆的路子走一遍，想了半天，发现这个平均曲率非负好像真的就只能用距离函数的复合函数来够着，想通了，看了看GT后面的内容，发现这些内容已经被Lieberman在CPDE86的一个文章上解决了，以前也瞄过那个文章，没有细看，有时我总觉得他写的太复杂了，其实静下心来一看就发现他当时想的结构现在看来是自然的，因为w的结果也在那之后，有些思想是相通的，毕竟非参极小曲面太经典，想要改进一点点结果似乎有些难度，不过我猜想可能还有一点点内容可以写个Remark，只是猜想，有空再细看。因为只要有了边界梯度估计，再加上内部BDG梯度估计，他就变成一致椭圆的了，然后事情就简单了。这也是为什么我开始看Giusti的结果的时候觉得可以改进的原因。事实上，它的结果是74年的，太早了，肯定早有改进了。似乎那个时候好多华人数学名家也都研究过极小曲面方程的内容。这是一方面的事情。而正当我写之前的结果的时候，也不知道是怎么回事，可能这几年以来杂事太多，本身精力大不如前，没有静心思考的时间，这在以前是多么幸福的事情。那时可能有些烦躁。我记得那年寒假去王老师那里去讨论问题，坐完飞机直接打了个车到sjtu，王正在办公室等我，我们一起讨论了那个迭代的收敛性问题，一直讨论到下午6点多才去食堂吃了饭，期间他给我一个关于完全非线性方程的liouville型问题，到现在好像也没有人解决，我现在也没时间集中去想啊。然后又谈到了Hardy空间的估计，似乎有一位华人数学家最早也研究了，w的想法是能不能给出一种更好的定义，这确实是值得思考的问题。晚上继续讨论，似乎也没有结果。到11点才离开办公室回到宾馆。第二天星期六，王老师说让我过去再讨论，讨论了一个下午好像也没有其他的结果，但王老师一直深信结果是正确的，我们顺带还讨论了一下参考文献，猛然间似乎有些启发，从他给我做的几何解释来讲，确实我说的结果应该是存在的，也是合理的。时间马上到了晚上，和那边的李老师，来老师，还有几个学生一起去吃了饭，然后回来办公室，又讨论了一会儿，我问王老师，还可以继续做些什么，他建议要考虑p-Laplace，极小曲面方程，Monge-Ampere方程，可以沿着这个路子走，又一次对我讲了free boundary那个书的一些相关问题。转眼间变到了拖鞋门，我回到了宾馆，想着明天就要回家了，但是不知怎么回事，睡不着觉，既然咱们从几何上看应该没有问题那就应该确实可以了，这给了我一些盲目的信心，于是拿出草稿纸又开始算那个迭代格式，慢慢的，我想，我这会而不讲什么技巧了就硬算，第一次没算下去，写的太乱了，还是回归到最简单的模式，就这样写啊写，一个小时过去了，忽然灵感来了，可以这样交换一下求和次序，写清楚一点，好了，这就是我想要的估计。哗啦啦，很快写好就发过去了。写完后有一种充盈又虚脱的感觉，想去买包烟，找了半天终于找到了。转眼到了4点多了，赶紧睡一会，还有早班飞机要赶啊。回来后也很快想出了一些其他问题。当时和我师兄讲了一下，期间有一个和别人的结果有类似但是还不完全交叉的结果，我总感觉我应该可以做到。但那是似乎一些心烦意乱的事情来了。就把这些事情一拖再拖了。就在前几天又算了一遍，发现真的可以去掉别人的一个条件得到我想要的结果，不过那是初算。今天认真算了一下，还是发现有点小问题，不免觉得有些失望，本来烧了壶水，准备灌了后睡觉，那知道还是睡不着，又用红笔算了一下。哈哈，把这两项一加，消除交叉项，再一迭代结果就出来了。难道你是等着我去发现吗？把Wiener准则的那个条件算了一下，开始有点吃不准，用了强的条件显然很快做出来，但是别人定理不是这样叙述的，也就是说别人的条件没有这么强? 怎么办呢？硬头皮迭代，能做吗？我开始怀疑我的结果可能是不是条件也可以减弱，那当然更好了，(估计是不能的，应该有反例的)。这时候我就粗略的搞了个积分的形式，想取极限，但发现似乎可以分部积分，写成R-S积分的形式，然后猛然发现是可以做的了。ok，写成离散形式用阿贝尔求和公式就说清楚了，当然这里说明那一个项不是随便写的，它确实是刚好能派上用场。此外，stampacchia的那个结果能改进一点点吗？暂时还是觉得有本质困难, 五十多年过去了也没有见有改进的文献，估计是不是有反例？

 

其实现在就是找一些问题来写，慢慢一点点写，至于说究竟解决了什么重大问题，恐怕是不太可能的。每个人都要生活，我们需要写点publication，其他的我看就暂时算了吧，因为现实中有太多的问题需要解决，其重要性一点也不必上面的那些事情差。加紧造吧！

 

 

06.04添加: 昨天和今天出了看一下实变函数中的Volterra的那个反例外，都在看一个文章，思考那个主项系数的问题，这实际是17在pku的时候自己给自己的问题，当然也是L的一个问题，我之前都没有细看他的文章，最近这两天仔细看了看，结合之前的理解。事实上，我在18年的这个时候已经已经将文章写了一半了，差不多解决了。不知怎的，我自己居然因为一些事情将这个最重要的事情忘了，完全忘了，不知道为什么？可能那个时候人主要还是心情不太好。 也就是说实际上，我当时和w老师说的时候我已经解决了L的那个猜想，当然比有些人晚了一步，当然方法是不同的，我主要是沿着L的方法和W的方法。那会儿看了一堆几何的东西，再就是失业啦！那会儿没有现在的相对妥帖。感觉还是杂事太多，外加自己精力没法集中。我和李说最多干十年，如果不行就再也不弄了，好好养家糊口。（如果不是真的喜欢这东西，估计我早就走了。原班里，学纯数的也就我和杨了，而我们本身都是中途转进数学系的）这中间，我知道，也能看清一些事情，我有时就想问你们是真的懂了么？但我不会问，也不想问，........

 

6.10 这些天主要将18年的一些结果进行了整理，整理的过程中也发现了其他人的文章中的一些瑕疵，这样就可以让Wu写点小文章了，我先合写一篇，剩下的让她去做毕业论文或者写成中文的投稿，有时候给学生找一个合适的问题也是挺费劲的，现在找到了两三个合理的可以让她写的小问题，也算可以交差了。现在唯一需要的是时间，没有时间静下来写文章是很可怕的事情。还好，最近一个月可以一个人写写东西。