第三章 纯洁的灵魂

第三章

纯洁的灵魂

这句刻板的话是1953年冬天意大利最耀眼的数学明星当时说的，和蔼可亲的反叛者雷纳托·卡奇奥波利(Renato Cacciopolli)，在大厅前满是惊讶地看着的同事。卡奇奥波利来到了罗马举办一系列关于测度论的研讨会，测度论也是德.乔治正在研究的课题。当日，数学学院地下室A厅座无虚席。雷克瘦瘦的，一张幽灵般的脸，卡奇奥波利站在讲台上，大家都默不作声。他的论点并不容易理解：“卡奇奥波利快速地从一个想法跳到另一个想法，常常留下听者必须自己填补的逻辑空白（但他的推理总是正确的）--费尔南多.贝托里尼回忆道，只有最有见识的人才能跟着他，而没有人敢于反驳他。”

卡奇奥波利1904年1月20日生于那不勒斯，俄国革命家巴枯宁的侄子，有一个迷人的个性。主要是因为他的奢侈，经常被带到疯狂的边缘，他是一个最著名和最浪漫的意大利数学家。在他最好的时刻，给人们留下深刻印象的是他的才华和文化：他是一个优秀的钢琴家，文学、电影和戏剧的知识渊博的鉴赏家。“他能背诵歌德”，认识他的萨拉·斯坦帕奇亚（Sara Stampacchia）回忆道。他表现出挑衅和反墨守成规的行为。一次，当地方当局颁布了一项法令，禁止狗在Via Toledo市区街道上行走在，Caccioppoli的反应是用皮带牵着公鸡到那里散步。另一次，当他试图了解无家可归者的生活时，他因为流浪而被捕。又一次，在1938年5月，阿道夫·希特勒、贝尼托·墨索里尼访问那不勒斯，卡奇奥波利和同伴萨拉·曼库索要求餐厅管弦乐队演奏马赛曲（法国国歌），并在法西斯警察前即兴演讲反对两个独裁者。他被捕了，但在他的姑妈玛丽亚·巴库宁的努力下，让执法人员相信他精神不健全，智力丧失，才获释。他因此被送回精神病院，但他平静地接受了，并将此看做是他一次人生经历。

 

他对权威的不敬是众所周知的。有一次，他老师皮科内（Picone）去那不勒斯他的家拜访。当他去洗手间的时候注意到，墙上挂着一个钉子，几张撕破的纸。皮孔偷看走近一看，才发现这是他最近让卡奇奥波利去看几篇文章。他愤愤不平地回去抱怨，但是卡奇奥波利回答：“是的，但那是我可以集中精力的地方。”皮科内，谁不会容忍别人的这种行为，事实上不把它当回事，在很多情况下，都是冲着为这个学生辩护惹上麻烦了。卡奇奥波利是他最喜欢的学生。

 

在会议期间，卡奇奥波利非常害怕，因为他知道没有多少同龄人能与他的智力相配，他通常喜欢这样说。因此，即使是讨论班，许多人还记得，最初也是以听众的沉默而结束。但这一次，一个明显胆小的声音敢于打破玻璃安静。德.乔治用他惯常的许多抽搐和古怪鼻音进行打断。卡奇奥波利一点也不耐心，用眼睛瞪着。安德烈·吉德曾称他为“纯洁的灵魂”：“C'est une“ 。”

 

在那次，也许是因为想起了吉德，卡奇奥波利转向了：“没有什么比一个纯洁的灵魂更疯狂的了。”

 

“卡奇奥波利知道他可能很刻薄，”爱德华多·维森蒂尼回忆道，他本人也出席了研讨会。“但不是那个时候。”事实上，有一个停顿观众屏住呼吸。然后卡奇奥波利继续说：“我认为你是一个“例外”，接着讨论了埃尼奥提出的问题。

 

提出的论点是变分法中的一个问题，Mauro.皮科内称之为“船舶问题”。它包括试图在所有可能的形状，从经济角度看最方便。复杂性这个问题源于必须考虑两个相互竞争的条件：第一个是与飞船的体积成比例的，大致代表内部成本和潜在利润之间的差异；第二个是与表面成比例，表示船舶外部部件的成本。皮科内对这些问题很感兴趣。“他坚信Caccioppoli是找到解决方案的合适人选，”De Giorgi回忆道。因此，根据皮孔的指示，埃尼奥去那不勒斯会见了卡奇奥波利。“埃尼奥经常提到他，他认为他是个聪明的人被他迷住了”， 他姐姐罗莎回忆道，“他去看他经常”。我记得不能直接联系Caccioppoli，需要通过他的助手唐·萨维诺·科罗纳托。恩尼奥和雷纳托相遇了整晚都在聊天。他们遵循最奇怪的时间表。恩尼奥觉得Caccioppoli在为某些事而烦恼。他为他担心，觉得很抱歉他帮不上忙。”

 

这两位数学家的会晤没有产生预期的结果。“我当然知道，卡奇奥波利非常尊重德乔治；马里奥科尔齐奥澄清道，他曾任那不勒斯大学代数教授；然而那段时间，Caccioppoli有健康问题。我不得不讨论我的毕业论文，我也有很多困难。据我所知，卡奇奥波利在1953年春天遇到了德.乔治，乔治邀请他多次来到那不勒斯。”

 

恩尼奥德乔治，雷纳托·卡奇奥波利：他们那个时代最敏锐的两个头脑尽管生活在他们的道路上遇到了许多困难，但他们面对着每一个其他。恩尼奥德乔治钦佩这位老师，并对他着迷。雷纳托卡奇奥波利也喜欢这个年轻人，但后来逃走了，穿过了狭窄的那不勒斯的小巷消失得像海市蜃楼。“我记得我和不幸的是，在我成长的几年里，很少有人写过--乔治写到---，尽管他很果断，但我记得他很少要求和我在黑板上讨论数学。一般来说，我们在一家咖啡馆，一家酒吧或者是一家餐馆，他拿起一张纸，说：“就像这样……”；他画了一幅画两个或三个基本符号，加上了一个简洁，但很深刻的解释，而且没有时间说明了一个特定问题的情况。”

 

当德·乔治遇见卡奇奥波利时，莫罗·皮科内突然听到一股无形的泉水：“皮科内让他走了，费尔南多·贝托里尼回忆说。那是德·乔治的‘解放’。”当他成为自己的主人。他本来会离开的，但在那个阶段，他终于摆脱了皮科内给我们带来的所有小问题。所以，他离开了。”

 

德乔治的第一个结果是在几何测度论领域，一个面积，他解释道：“在本世纪上半叶，集合论发展起来，它引入的数字远比那些之前认为的复杂和参差不齐通过几何学，这迫使数学家重新评估长度的概念，面积、体积、周长和边界。在重新评估的过程中提出了n维测度的定义以前的经典概念。例如，一维测度推广了长度的概念，面积的二维概念，等等。每项措施产生了有趣的性质，但在不太规则的形状上，它们给出了非常不同的结果。”

 

问题不在于我们熟悉的简单形状，比如作为三角形或椭圆，但有更不规则的，而且，居住在具有通用维度数的空间。费利克斯·豪斯多夫和康斯坦丁的Carathéodory等人提出了不同的数学程序措施类型（周长、面积等）。但总的来说，当应用于更复杂的形状，根据方法产生不同的结果被选中的。“这为几何中的许多理论问题创造了一个尴尬的环境-德乔治说。这种尴尬的感觉主要是由一个叫Caccioppoli的人感受到的他对数学的享受与他高雅的艺术感融为一体。”

 

德乔治也感到了这种尴尬，他也遇到了类似的问题通过其他途径。

 

事实上，德乔治首先感兴趣的是最大或者最小面积，比如Dido问题，以及肥皂泡的形状。为了解决后一个问题，他遇到了一个根本性的障碍：周长的合适定义，用于测量边界的长度空间中一组点的平面。他的想法很符合卡奇奥波利的，他已经确定了一种完成这种评估的几何程序：“Caccioppoli的提议是一个接近具有多边形的不规则形状的平面集，作为其差异的度量集合与近似多边形之间的封闭区域解释了考虑到多边形的级数，你可以想到不规则集合的周长，试图使差异区域变得更小，取最小的可能值。“

 

因此有可能计算出一大类集合的周长，甚至形状不规则的多边形，以适当的方式用越来越多的边。最初，De Giorgi调用了这个定义所在的集合可以应用“有限周长集”。“Caccioppoli叫他们（n-1）-面向尺寸的设置解释了Mario Miranda.  卡奇奥波利去世后，德乔治称之为卡奇奥波利集。”

 

德乔治在这一领域立马崭露头角。1953年，他设法为一个集合的周长写一个分析公式，这是它的一个实用方法计算， 而在1954年，他解决了停滞一个多世纪数学问题：高斯-格林公式的一般有效域。

 

对后者的兴趣最初可以在物理学中找到，特别是电磁理论。例如，让我们考虑一下需求，假设电荷的特殊分布，定义我们可以确定每个点的电场，反之亦然。十九世纪世纪发现，如果我们考虑一个一般的闭曲面计算穿过它的电场的通量，我们得到电荷包含在里面（高斯定律）。如果我们把电场看作流水，把电荷看作弹簧（如果是正的）或井（如果是负的），我们可以重新制定高斯定律：如果我们计算一个封闭表面上的水通量它包含了泉水，我们可以知道泉水排出了多少水；如果封闭的表面有一口井，我们知道有多少水掉进里面。最后，如果我们发现通量为零，这意味着弹簧是干的，或者没有在封闭的表面内部，或者井和弹簧完全匹配。

 

De Giorgi研究的Gauss-Green公式代表了这些概念的概括。早在1951年，在陶尔米纳的一次会议上，Caccioppoli假设这个公式的有效性可以被扩展从更规则的封闭曲面到更一般的类根据他的定义，所有可以用多面体来近似的集合。De Giorgi证明了这一猜想是正确的，并且这个推广因此，有限周长集的类与高斯-格林定理在最一般情况下有效的一类集合配方。

 

紧接着，在1955年，德乔治研究了有限周长集的边界，得出了一个很长的结论寻求。他展示了如何调和不同的理论，以及尤其是他和卡奇奥波利的关于豪斯多夫，卡拉斯奥多里的理论，还有其他人。事实上，德乔治表明，对于所有感兴趣的形状，即有限周长，存在一个“约化边界”集，其中所有的定义一致性。

 

就这样，在那些年里，德乔治设法完成了这个计划Caccioppoli在Taormina会议上表示，国际社会一开始，并没有受到多少热情的欢迎。德乔治自己也记得当时Caccioppoli没有收到他应该得到国外的考虑。原因是他的思维特点与更具分析性、系统性的方法形成鲜明对比这在一定程度上是正确的，在一定程度上是因为我们的不幸，在当代分析。”

 

在卡奇奥波利的对手中有美国数学家劳伦斯当时30岁的Chisholm Young是威斯康星麦迪逊大学的教授。年轻的是个成熟的数学家，当时的照片显示他留着浓密的胡子还有胡子。他写了一些关于Caccioppoli和一个批评，但他错过了德乔治工作的重点，但他来重新思考他们。“后来杨确实意识到了德乔治贡献的重要性”——温德尔·弗莱明是他的学生。事实上，关于1954年杨在报纸上写道：“（德乔治）能够证明他对周界的定义与Caccioppoli提议的一致（…）。这样就可以判断更清楚的是，Caccioppoli定义的精确范围。“De Giorgi对这篇评论很满意。

 

德乔治致力于几何测量理论的工作周期结束于1958年发表的一篇论文证明了球体的等周特性（即。，Dido问题的推广）对于更一般的Caccioppoli类-德吉奥吉设置。“乔治球面的等周性质35随着时间的推移，不同的配方对应于形状、面积和测量的概念是新的定义，等周问题的解总是一个超球面，因此，新的概念被很好地表述出来。这都是个开始还有一个到达点。现在，新的理论可以用来满足新的问题。数学的新道路正在开辟。

 

恩尼奥在意大利的杂志上用意大利语写作，但这并没有阻止他的想法在全世界传播：“德乔治的作品具有如此独创性和其他国家的有兴趣的数学家做出努力的重要性，“为了了解它，”弗莱明回忆道。36岁的他是第一个遇到德乔治的37岁的法国基督徒保罗和他的美国同事讨论了这些文件尤其是赫伯特·费德勒和温德尔·弗莱明。“方法在这些文件中使用（包括一个新的“切片公式”）可以立即用于“我”弗莱明补充道。后来，费德勒和弗莱明在1960年的一篇重要论文中，把德乔治的理论推广到任意共维的超曲面，以一种决定性的方式揭示了现代几何测量理论的根源。

 

恩尼奥德乔治在测量理论方面的成果已经是最大的了注意。然而，在那些年里，他做了更多。例如，在1955年他在另一篇文章中发表了一项重要的研究成果菲尔德：柯西问题的非唯一解。

这类问题以法国数学家奥古斯丁·考西的名字命名生于法国大革命之年。柯西是现代解的存在唯一性的许多定理的作者微分方程，即那些方程的解由整个曲线或曲面。在这些类型的问题中，我们的兴趣是寻找解决方案也是独一无二的。在他1955年的作品中，德乔治发现了解决方案并不独特。他演示的方法是概念上简单而且非常有效：他建立了一个反例。

 

在数学中，反例被用来表明一个特定的断言是假的。例如，如果一个一直住在他村子里的瑞典人肯定女人是金发的，一个反例就是给他看一个黑发女人。同样地，在他1955年的论文中，De Giorgi证明了微分方程没有唯一的解：他找到了。40这个过程是德乔治研究的典型：面对一个定理，他尽了最大努力尽可能地扩展它的有效性，把它概括化，就像一个未经探索的冒险家领土。但是当一个障碍物挡住了他的去路时，埃尼奥寻找了一个反例。从而确定定理有效性的极限。因此，这个发现反例不是一次失败，而是一次胜利，一种新的光，它通过它重建柏拉图式数学世界的地理学是可能的。

 

德乔治在过去已经建立了其他非唯一性的例子，但是1955年的一次特别重要。它是在一篇简短而神秘的论文中提出的，没有任何参考书目。就像数学中经常发生的那样。另外，德乔治也得出了同样的结论：波兰人安德热伊普拉斯，在克拉科夫。他们的报纸走遍了世界。另一位杰出的美国数学家注意到，他将成为名人：保罗科恩。“他动作有点像猫，眼睛灼热，在高高的额头下，科恩有着火热的激情，他很自恋，他是由西尔维亚这样描述的纳萨尔在她的书《美丽的心灵》中。保罗·科恩1934年出生于新泽西州在去麻省理工学院之前在纽约和芝加哥学习在那里他遇到了小约翰纳什，纳萨尔的书的主角。纳什，谁有同性恋倾向，被他吸引。

 

德乔治、纳什和科恩：命运喜欢和人一起玩耍，把他们的生活绑在一起神秘的方法，组成几何学。科恩写了几篇论文，其中一篇这是美国海军研究办公室的一份技术报告论文致力于（成功地）概括和使人们更容易理解“Plis和De乔吉的方法，”塞尔吉奥Spagnolo解释道。科恩的论文是数学的里程碑，是解决希尔伯特第一个问题的方法，连续体假说，一个备受赞赏和经常被引用的结果晚年的德乔治。

 

科恩并不是唯一一位欣赏德乔治1955年作品的数学家。法国人让·勒雷做得比大多数人都多。他是一位杰出的绅士。他把优雅与文化和个人魅力联系在一起。1964年，58岁时，莱瑞在法国学院的演讲中写下了笔记非严格双曲线标题：对照示例，du type De Giorgi，aux存在与统一的时间。他寄了一份出版前的副本给恩尼奥页边注：“亲爱的朋友，我为研讨会编辑了以下报告你的非唯一性的例子。我在口头报告之前交给你。阿维克蒙边亲切的纪念品。”

恩尼奥德乔治开始出名，参加会议，和其他数学家。“在国际数学联合会大会上1954年在阿姆斯特丹举行，他开始会见全世界都记得他的朋友乔瓦尼·普罗迪，他在那里遇到了拉迪琴斯卡娅夫人。”俄国数学家是那个时代最伟大的人物之一更喜欢他的作品。

 

国际暑期数学中心研讨会（暑期）

国际数学中心很重要：“我记得1954年，恩尼奥德乔治（Ennio De Giorgi）作为与会者（与我和其他人一起）参加了雷纳托·卡乔波里、兰贝托·塞萨里和克里斯蒂安的测量理论研讨会保罗，科莫湖瓦伦纳别墅修道院的英雄说费尔南多贝托里尼。45-那个研讨会上的“管弦乐队指挥”是卡奇奥波利。可能是在这个时候，德乔治和46岁的保罗联系上了几年后，1956年6月1日至10日，又一次在维拉修道院，与谢尔盖·索博列夫47进行了会晤。这是第一次索博列夫到意大利旅行的回忆安东尼奥·奇菲。德·乔治很感兴趣，因为他得到了相似的结果，但是路径。因为这次会面，德乔治向更现代的人敞开了心扉发展以及泛函分析。”