De Giorgi Class

今天抽空看了看散度型抛物方程的De Giorgi方法，Lieberman的书写的也不错，但是如同16年看他书上De Giorgi Class的证明，他的typos有时候让人费解，这样就扭曲了参考文献的原意。两个特别重要的定理的(De Giorgi-Nash-Moser, Krylov-Safonov 定理)的证明打印错误有一些，即使是第二版也没有修改他们。还有关于$\sigma_k$的性质的有一、两个证明也是typos。其实他应该现就直接处理柱形区域就可以了，不必太过于追求一般性，而一般的抛物区域的边界正则性是比较复杂的，有时候把他们当退化椭圆来处理。 而陈亚浙教授的二阶抛物型偏微分方程中DG class写的也是有尾巴的情形，证明写的也是极其的复杂，原意还是王光烈教授的想法，除了普通的Caccipolli不等式外，再取只和空间变量有关的截断函数，得到一点时间方向上的连续性，然后用De Giorgi的等周不等式就可以证明密度引理了。我还是退回到最简单的齐次方程来看定理，这样证明就清晰了。记得初学的时候，没有人教，就直接卡壳了(此种情形何其多也!)，16年在IA时仔细认真的把这两个定理抛物版本的证明研究了一下，也还算是可以的，总之是比椭圆型的要繁琐很多，主要就是在时间方向上时，如何迭代。 关于divergence form抛物型Harnack不等式，在陈亚浙教授的书上已经写得很清楚了，有了上解的正性扩张引理(或者叫Doubling Lemma，可由Desity Lemma推出，非散度型只需要造一个喇叭花形状的Barrier函数即可)和振幅衰减估计( 可推出Holder连续性)就可以可到Harnack不等式，所用的方法完全是借鉴了Krylov Safonov (Safonov椭圆情形 )文章中的找最大根的方法，而这一步也被Caffarelli借鉴用于证明Harnack不等式的最后一步中（所用函数为$(1-|x|)^{-\alpha}$ in $B_1$类型)， 这其实是一个非常好的方法，也就不必像Lieberman那样再用一次Krylov-Safonov的迭代，当然这样去迭代这个想法最早椭圆情形是 Diebennateto-Trudinger，抛物情形是 王光烈.  

 

 从老家回来后，复习了一下 Giusti写的《Minimal Surface   &  BV》， 在参考De Giorgi的学生Miranda等人写的《Minimal surface of codimen one》时，可能以前没太注意直接略过去了，我发现了他们写了De Giorgi原始证明(微微修改过的证明)，基本上是原始证明思想，也就是最原始的De Girogi的等周不等式，那时似乎还没有那个在研究生教材里面（等于0的部分占有正测度下界）平平无奇的Poincare不等式(Moser的文章给出了证明)，De Giorgi是从水平集的相对等周不等式和余面积公式(可以用等周不等式和余面积公式来研究$W^{1,1}(R^n)$的sobolev嵌入常数)来给出证明的，他的想法后来被Ladyzhenskaya提取为常见的 De Giorgi等周不等式，并推广至p-Laplace类型的方程，而Caffarelli再次将其简化为A,C,D的测度关系 (能量有限，从0跳到1  Need a room )，将本质上的东西简化为一句话，有限步以后，就到了Threshhold，（如何将测度比例由接近于1，迭代到$\frac{1}{2}$，事实上是任意正比例，这时候水平集要变）,也就是他09年的演讲中的内容，王立河老师的book上也早已经将这个证明写出来了。关于caffarelli写的Geostraphic方程的讲义中为De Giorgi的证明思想给出了一种极小曲面的解释(实际沿用的就是De Giorgi最原始的思想), 关于那个不等式如何逼近的问题后来在GT的书上找到了合理的解释，需要用一下有界区域(测度有限)的Riese位势的估计, 实际是个很基本的问题。 Caffarelli的合作者利用他的想法结合反证法给出散度抛物方程的的Holder估计。不过仔细想想，随着单个方程的Hilbert第十九问题的解决，(高维)椭圆、抛物方程的正则性理论的研究开始进入了飞速发展时期。现在要给一个研究生也能大概讲明白的事情，在当时确实极其困难的，数学的证明也是在不断的化简中,  然后提取精髓部分，继续推广。

 

相对来讲，对于初学者来讲，还是看Evans写的书或者Qing Han 写的书比较友好。

 

这学期带了复变函数，把Conway的书又翻了翻，我印象依旧深刻的是讲度量空间那一章，那是我学分析的开端，还有Mobius变换(分式线性映射)，不过当时上课其实讲的内容是很少的，这是一些学校的通病啊，基本没有深入，没办法，其实人家的书写的倒是很好的，......，就不提了。

 

在MM写的那个书上找到了一个关于极小曲面方程边界正则性的一个可做的问题，最起码问题的提法已经有意义了。 

 

暂时写到这里。