第二十一章 梦想的自由

第二十一章

梦想的自由

直到20世纪70年代初，恩尼奥德乔治一直致力于他的两个特别研讨会，在周二和周三，进行分析。但在某个时候，他改变了星期三的一个新课题讨论会：数学基础。“我们曾经对这门课程着迷”，Vincenzo Maria Tortorelli说，“她是这门课程的追随者-马可·富蒂和图利奥·弗兰佐尼也在场。出席的还有五六个人普通学生，加上工程系的30人左右，信息学、数学和物理学。课程的结构乔治将被定义为类似于《智慧之书》，并基于他的反思。”

 

在很短的时间内，几乎从无到有，密集的研究活动从这个新领域诞生。“德乔治想建立一个基本框架，建立数学分析，充分解释了马可·富蒂.  第一次当他在阿斯马拉的时候，他就这样看待这个问题，他意识到通常的集合论不符合他的目的。为此，他试图修改但这不是一件容易的事。

 

集合论是德国乔治·康托尔在十九世纪末创立的世纪，在需要有数学基础的时候对实数概念的分析。在接下来的几年里，数学家寻找合适的公理来建立一个新的理论，并且第一份清单是1908年由德国恩斯特·策墨罗完成的。 许多人相信集合论，因为它被认为是正确的道路解决这一时期的重大挑战：基本原则和公理的界定所有的数学都可以在这个基础上推导出来，也就是说理想计算机的软件，它可以表述任何定理。许多数学家在这个挑战上工作了几十年，但是在1931年令人大吃一惊的是：库尔特哥德尔证明了这个项目是不可能完成的。

 

 

哥德尔的结果基于两个基本点。第一次，是，曾经定义了形式化的、相当大的系统，如算术，将总是存在一些精确的数学语句系统既不可证明也不可反驳。“我们的假设永远不会足以完美详尽地描述最简单的数学我们知道的对象：整数注释了De Giorgi.-尽管它已经被研究过了几千年来，这一套仍然是部分未知的，而且，正如哥德尔所说，将永远如此。我们用假设来丰富我们的系统并不重要，获取新信息：整数上总会有命题这些假设无法推导出的数字
写的。”

 

哥德尔的第二点涉及连贯性。“数学本身无法证明自己的连贯性说，德乔治。哥德尔表明，断言数学假设并不矛盾只能在形式科学之外获得，通过其他知识或智慧。”

 

乍一看，哥德尔的研究结果似乎是人类推理的失败。相反，对于德·乔治来说，他们展示了数学的无穷丰富性，不可能把它简化成简单的元素，并且在某种意义上，使它变得琐碎它：这是它多么富有的标志。“一个科学家知道永远不会穷尽自己的兴趣可能会让人失望，但也会给希望他声称。这意味着总会有发现。知道数学在很大程度上仍有待发现，它不是封闭的科学，但总是一条通向新问题的开放之路，不会使之失效更古老的发现，却为它们提供了新的线索。”

 

自由。在这一切中，德乔治看到了自由的迹象：选择公理并用它们建立一个理论，然后可能建立另一个基于不同的公理，以免陷入制定一个不周全的计划的陷阱理论，因此很少有人感兴趣，或者恰恰相反矛盾的。

德乔治为建立一个基金会寻找了将近30年的时间。“在早期，每次他走进教室参加周三的研讨会，他总结了最初的公理记得图利奥·弗兰佐尼，因此理论从未起飞。坦白说，一开始，它看起来像是被预言出来的但很快，德乔治取得了非凡的进步，并继续他需要一位专家。”

陪同埃尼奥进行这次新冒险的人是马可·富蒂作为他的助手，在20世纪60年代，作为一名学生，福蒂已经认识了德乔治，他在1966年曾指导他在斯库拉师范学校的一些工作。后来，这位年轻的数学家他主要致力于比萨的学生政治活动。后来他回到数学，对集合论充满热情。就在这个时候他发现德乔治对同样的课题感兴趣。是的1976年。马可·富蒂在周三的研讨会上热情地介绍了自己。他自从德乔治在诺尔梅的日子以来，他就再也没见过他，但两人很快就重新开始交往了他们热情地交换意见。德乔治问福蒂他是否读过这本小册子是美国人保罗·科恩写的，在数学家中很受欢迎很长一段时间了。福蒂回答说：“是的。”

 

这本小册子考虑了一个复杂而引人入胜的数学问题：连续体假说。这个问题已经在十八世纪末被描述过了世纪由乔治坎托提出，可以简化为：是否存在一个无穷集整数和实数之间的“中间度”？坎托已经证明实数集大于自然数集，在实数不可计数的意义上（如果一个人试图这样做，他就会意识到没有足够的整数来标记每个实数）。怀疑仍然存在可能有一组“中间”数字。因此，连续体假设状态：任何无限实数集都有一对一的对应关系所有自然数或实数（即连续体）。

 

大卫希尔伯特认真地考虑了这个问题，把它包括在他的下个世纪要解决的23个问题。第一个相关的结果是由库尔特哥德尔提供的，他在1938年，显示了连续体假设与集合论是一致的，根据通常的公理，它不能被证明是错的。保罗在1963年得到了一个互补的结果科恩：也不能证明连续体假说是正确的。这些结果表明，连续体假设必须独立于公理通常与集合论有关。保罗·科恩因为展示了这个，赢得了1966年菲尔兹勋章。

“科恩的研究结果中重要的不是理论本身-解释Forti.15——是演示中使用的方法开启了新的数学的途径。这是因为科恩设计了新的建造方法各种类型的宇宙：这当然符合德乔治看数学。让我们假设我们有一些不符合的性质从公理选择为基础的理论。用科恩的方法，我们通常可以建立一个模型，其中这些属性是真的。因此，我们可以证明不是说某些事情不是真的，但我们可以证明它们是可能的。扩散系数乔治不断地运用这一原则。当他研究集合论时“宇宙”的概念，他这样做是为了得到与科恩类似的结果，也就是说，创造宇宙：当他喜欢两种性质，但又相互矛盾时，他想要他们两个。那么，他做了什么？他创造了一个宇宙一个属性是真的，另一个属性是真的。然后一个更大的一个，你没有对其中任何一个采取立场。”

 

恩尼奥德乔治和马可福蒂：大师和年轻的学生。他们长大了。在数学基础上一起工作。恩尼奥德乔治是他指导了研究策略。马可·富蒂就是那只手臂，他扛着它。通过计算，验证了理论的一致性，并处理了年轻的学生。两人合作得很好，因为像德乔治，福蒂，“不急着公布结果，愿意跟着主人走非常独创的想法，无论他们带他去哪里8230；即使是德乔治，尤其是。在最初的阶段，总是准备好质疑假设并从头开始新消息：8220重新开始有时令人恼火，即使看起来我们已经到了理论公理化的一个明确点，81i；评论Forti。

 

慢慢地，De Giorgi引入了关于集合的其他实体（例如20ur元素822；）。但最重要的是他设计了新的原则，其中第一条，在1979年，自由构造的原则是：8220；它总是构造一组字符。通过适当的参数化自由分配元素来设置。822；这是一年。的确，这与Zermelo-Fraenrebellion的一个定理相冲突：零的公理。基础，根据它不可能创造出无限的集合链 一个包裹在另一个里面，就像一个无限套的俄罗斯玩偶。822；De Giorgi考虑了这个无用的限制，8221i；Forti解释道。因为他讨厌限制，他消除了它，引入了他自己的新自由原则。

 

在这个阶段，一个新的玩家加入了游戏：一个叫Furio Honsell的年轻学生，他在1976年到达比萨。8220；我是斯库拉·诺尔梅，8221；，霍塞尔这个学位很新，有一个新的亚历山德罗·法埃多的另一项倡议。只是因为纪律太严了新的，德乔治建议本塞尔可以先学习数学，然后专攻。后来在信息学。就这样，这个年轻的学生发现自己在写自己的东西。关于这些论点的学位论文。8220；De Giorgi不接受Honsell解释说，有充分的理由，也就是说，他们不可能属于自己822。传统上，逻辑学家试图避免这些自我参照的情况，因为他们这样做了。能引种牛。一个例子？罗素理发师问题；，解释一下。豪塞尔。让我们考虑一个村庄，理发师为所有不理发的人刮胡子自己刮胡子。谁给理发师刮脸？如果他不自己刮胡子，他必须自己刮。他自己。但如果他这样做了，他就不应该自己刮胡子。这就是悖论消除这些矛盾的情况很多人宁愿选择一套限制性的限制。避免自我参照的公理。基础公理就是其中之一。822秒；但是对德·乔治来说，这意味着把孩子和洗澡水一起扔掉，8221；Honsell观察到。拒绝自我介绍，我们就穷困潦倒了。通过减少还原一切就绪，我们一贫如洗。因此，他开始发展数学的基础，其中集合可以属于它们自己，并且许多不同类型的实体，这样，任何事物，先验的，都可以作为数学对象8221；从长远来看，这种态度是有远见的。信息学，在那些年里从婴儿期开始发展，是完全不同的。从其他科学学科，本质上自动引用，822；解释，豪塞尔。递归算法，也就是那些回忆自己的算法，是自动引用的。函数式语言（如Lisp）的编译器是一个操作本身。德·乔治直觉地认为，要抛弃这些情况——而且更经常的是，要设定集合作为一个毫无根据的人-是一个严重的错误。事实上，这样做，一些自由构造原则（后来称为共诱导）出现了，并成为非常有用的研究过程，在并行操作和做。不终止。不久前，只研究了终止的进程。但今天我们是意识到永无止境的过程更为重要，你可以想到网络或操作系统。82211；

“这个结果可能是德乔治对“数学逻辑”，强调马可·富蒂。这是一个在语言学和信息学领域有实际应用的想法。“当飞机降落时，每个人都希望控制起落架安全释放的软件是证明是无错误的Honsell评论道，“因为你不能冒这样的风险它不会部署。几乎所有的大型认证系统令人惊讶的是，软件与非有根据的集合以及免费建设。”

 

这种贡献本身就足以定义数学家。德乔治甚至懒得以自己的名义公布结果最后，这对他来说并不重要：他感兴趣的是构造一个好的公理集来构造所有数学。

 

20世纪80年代，实现这一目标的道路开始变得更加清晰，当德乔治完全脱离了集合论而专注于越来越普遍和复杂的非还原论理论的发展。在1985年，这条道路最终发展成第一个一般理论：框架理论20几年后，他的努力最终发展成为理论，所有理论之母：“它有效地包含了被认为是数学的基础，即自然数和基数，集合类，操作通过添加基本逻辑来解释Forti21关系、性质和命题等对象。实际上，它包括数学、逻辑和信息学。“这是一项巨大的事业，非同寻常，非常独创，雄心勃勃。但这也是一个极其复杂的理论很难管理：“它由102条公理，118个基本对象，20个关系，30个质量，10个关系对，51个操作，两个集合，一个系统四位红衣主教罗列了马可·富蒂，22岁，深吸一口气。-因此，这是一个疯狂的举动有四个人在做这个：除了德·乔治和马可·福蒂，Vincenzo Maria Tortorelli和Massimo Clavelli。这是德乔治唯一一份直接用英文出版。

 

在这个阶段，理论已经完成了，但是有必要证明一致性。这是数学基础领域的标准程序，因为选择基本公理可能会产生不可预见的后果导致矛盾（这将导致理论的放弃）。显然，因为哥德尔定理，一个理论不能被证明是绝对一致的，但只有一个是相对于一个普遍接受的公理系统的，比如泽梅洛-弗雷恩克尔。

 

因此，在充分理论的情况下，有必要采取在非常艰苦的计算任务上。是由年轻的吉亚科莫·伦齐接手的作为他的学位论文。“他的论文长达460页，强调的是Forti24-在Zermelo-Fraenkel（ZFC）理论中允许的证明加上因此，如果ZFC理论与附加假设一起是连贯的（通常是假设的），那么这个充分的理论也是连贯的。它是一个重要的结果。

 

一旦建立了一致性，就必须确定理论满足了恩尼奥德乔治对一个好的科学理论。例如，它对新的扩展开放。“我们相信有可能承认富通保险公司26号，而且有很多自然延伸，其中一些发表在理论本身的附录中。伦齐显示了一些扩展是可能的；但是他最大的结果是一些最自然的延伸是不一致或矛盾的乔治，这是一个严重的失望。

 

充足的理论是在这个方向上可以完成的事情的顶点扩大数学理论的范围，这是德·乔治一直在研究的这么多年来。“这是一个目的地，但同时也是一个开始，Forti.27-For德乔治实际上没有目的地，只有起点。在这种情况下，他提出了一个理论，其广度使它几乎无法控制：在同时，过于宽泛、过于详细、过于具体；因此，不可能“再延伸一点。”这意味着这条路是死胡同。这次搜查从头开始。

 

突然，德乔治又开始了新的生活。“他完全放弃了一个全面的理论，因为他意识到自己无法控制它，于是继续前进对于一个基本理论的概念，马可·富蒂记得很清楚。—它必须有一般的公理在一些非常重要的概念上，德乔治在例如，一个物体的质量是红色或黑色，或两个数相等或一个大于另一个数的关系。“一切都发生得很快，这让富通回忆起来。—我记得有一次，当我从卡利亚里回来，在那里我最近得到了一把椅子，德乔治已经发明了7+5理论，这是第一种新的理论七种品质和五种关系。他亲手写的，可惜我已经没有了手稿。我很惊讶，因为他一眨眼就转向了完全相反的方向：从一个包罗万象的宽泛理论到一个理论只有12个对象，很少有公理。”

 

恩尼奥德乔治选择了关键：他希望他的理论尽可能透明。苗条，自然，近乎直觉。开放，有能力以适应其他理论。这些理论必须反映出他的智慧思想。“基本理论描述了其他理论可以插入的环境-解释了Forti。—例如，要插入算术，只需要插入自然数的性质，对自然数的运算，然后公理。”

 

事实上，德乔治决定用一些基本的概念，不应该导致他选择了还原论方法，例如集合论中使用的那个。“通常的集合论只有一种基本的对象，集合，并用它编码所有其他数学对象-相反，Forti.29-De Giorgi的解释是，开始时只引入了两个对象、性质和关系，并用来介绍其他数学虽然在集合论中，所有的对象都可以是用集合来描述，在德乔治的基本理论中，一个插入的数学对象保持其个性，不应假定它可以被简化为品质、关系或任何其他实体。“质量用于限定引介继续Forti，-而关系用于将它们与“这个想法已经包含在大量的理论中，但在这种情况下，De Giorgi希望将所有对象包含在一起，而植入的基本理论发生在第二个例子中。“在某种意义上，基本的理论应该像一个短树干，但有着深厚的根，德乔治解释说，30-在这个基础上可以嫁接不同的数学分支一棵树干，像是智慧之树的古老代表。

 

德乔治从一开始的目标，以免我们忘记，是发现一个好的数学分析框架。他从重新定义传统的布景开始理论，然后他发展了大量的理论，最后是基本理论。但是，就像一场海市蜃楼，他的最终目标仍然难以捉摸：“他一直在寻找一种新的理论解释了马可·福提31，但他不断地改变它们，从未满足：他发展了许多基本理论。有一个停顿使后一种理论，即上世纪90年代中期的理论，是前一种理论的基础。早期有关的更具体地说是数学、逻辑和信息学。然后他们变成更普遍。从技术上来说，它们可以被早期理论上，自然数是立即插入的，然后不再插入。”

 

自然数是一个复杂的物体：它们是无限的，一旦它们是插入到理论中，G鰀el抯定理开始发挥作用数学理论需要自然数，所以最好从开始。我从来没有完全接受过把他们排除在外的想法。是那个一开始我喜欢的一件事，特别是因为，不像大多数的逻辑学家喜欢通过其他物体来定义自然数，德·乔治因为他们的身份，他们立即介绍了他们。但最后，他改变主意了。也许是因为他开始经常和生物学家和经济学家，而不是数学家和逻辑学家。通过尝试把讨论范围扩大到其他学科，自然数成为一种嫁接像其他人一样。”

 

因此，德乔治的理论发展到成为只是为了数学，也为了其他学科的知识。支持结构，树干，变得越来越重要：不仅仅是传统的对数学基础的研究，但更类似于古代智慧的概念，一种综合了所有学科的反映，从物理学到经济学，从生物学到人权。“德乔治认为数学不应与他认为重要的其他学科分开富通总结道。事实上，德乔治自己断言：“一个人不能在基础科学领域专家；相反，任何人研究或教学应该愿意做出贡献。”