关于调和函数的一些性质

以下均为10年前讨论的一些内容，或者更早一些。

问题1.考虑调和函数  $-\Delta u=0\ \ \mbox{in}\ \ R^n$,  $n\geq2$, 且$u(x)\geq -(1+|x|)^{\alpha}$ in $R^n$, 其中$\alpha\in(0,1)$, 证明: $u$必为常数。

证明:(1) 考虑直接对$u-\inf\limits_{B_{2R}}u$在$B_R$上使用Harnack 不等式，则

$$\sup_{B_{R}}u-\inf_{B_{2R}}u\leq C(u(0)-\inf_{B_{2R}}u).$$

那么

$$\sup_{B_{R}}u\leq C|u(0)|+(1-C)\inf_{B_{2R}}u\leq C|u(0)|+(C-1)(1+2R)^{\alpha},$$

这样就有  

$$\sup_{B_{R}}|u|\leq C|u(0)|+C(1+2R)^{\alpha}$$

最后用调和函数的梯度内估计就可以得到结论了。

(2)第二种方法是利用平均值公式推导梯度估计的方法，并结合积分中值定理即可知道$\nabla u \equiv 0$. 具体细节见  Oleinik的《偏微分方程讲义》，当然本问题还可以推广控制的阶数。

(3) 受极小曲面的BDG估计的启发(因为对于极小曲面方程可以提相同的问题，见E.Guisti的book)，调和函数也可以有类似的梯度估计(见林芳华，韩青的椭圆方程讲义的第一章Lemma1.11, 考虑 $u(x)-\inf_{B_r(x_0)} u$, 即先用平均值公式，再用散度定理，最后用平均值公式)，即 对任意的$x_0\in R^n$, $r>0$, 可以做估计：

      $$|\nabla u(x_0)| \leq \frac{C(n)}{r} (u(x_0)-\inf_{\partial B_r(x_0)} u) , $$

这样问题也类似的迎刃而解。

问题2.考虑二维情形的 全平面 下调和函数 上有界，则必为常数。具体如下:

$$u\in C^2(R^2),\ \ \ -\Delta u\leq0\ \ in \ \ R^2, \sup\limits_{R^2}u=0, \ \ then\ \ u\equiv 0. $$

证明:  第一种情形：如果$u(0)=0$, 由强极值原理可知结论成立。

          第二种情形：如果$u(0)=-m<0$，以下证明 这不可能发生。

          由连续性可知，存在$\delta>0$使得， $\forall\  |x|\leq \delta,\ \ u(x)\leq -\frac{m}{2}<0$, 然后在外部考虑使用基本解构造的闸函数。 对任意的$\epsilon>0$, 取

$$v_{\epsilon}(x)=-\frac{m}{2}+\epsilon \ln(\frac{|x|}{\delta}),$$

由比较定理容易知道 $u\leq v_{\epsilon}$ in $\{x\in R^2:|x|>\delta\}.$

最后令 $\epsilon\rightarrow0+$可知，  

$$u\leq -\frac{m}{2}   \mbox{ in}   \{x:|x|>\delta\}.$$

 这样就会有  $u\leq -\frac{m}{2}$ in $R^2$,  这与假设$\sup\limits_{R^2} u=0$相矛盾。Q.E.D.

 问题3. 考虑调和函数  $-\Delta u=0\ \ \in\ \ R^n$,  $n\geq2$, 且$u(x)\in L^p(R^n)$, $p>0$，则$u\equiv 0$.

证明: $p\geq 1$时，只需要用均值公式和Holder不等式，至于其他情形可考虑内插或者直接使用Moser迭代的局部极值原理。 Q.E.D.

 问题4. 关于有界调和的可去奇性的问题。引入Capacity来描述，并利用Haussdorff测度来直观判定。

 问题5. 关于有界调和的孤立点奇性的Bocher定理。

问题4、5是值得深究的，它们可以推广到其他椭圆、抛物方程上去。