one phase free boundary problem

One phase free boundary 的理论确实令人费解，也令人着迷。为什么这么说？因为直接入门看[AC],要花费很大的功夫，看了可能也不一定能马上知道他们说了什么，但是经过了差不多40年的努力，数学家们对于此问题的理解可以说还是有很大的突破的，特别是最近看到了B. Vehichkov写的讲义，可以说是把这个问题整体梳理了一遍。而此讲义也解决了我的很多困惑。

问题的描述:

假设$D$ 是光滑区域，比如说$B_1$, 考虑 $u\in H^1(D)$,  $g\in H^1(D)$ , $g\geq 0$ on $\partial D$, 极小化泛函

$$\inf\limits_{v\in H^1(D), v-g\in H^1_0(D)} \int_{D} |\nabla v|^2dx+|\{x\in D: v>0\}|.$$

 极小解的存在证明是容易的得到的，不妨记$u$为变分极小解。

首先看解的正则性，$u\in H^1(D)$, $u\geq 0$, $u$是subharmonic的，此时可修改$u$的逐点定义。(因为是非线性问题，可能极小解的唯一性是没法保证的。) 容易证明$u$是局部有界的。还可以进一步证明$u$是局部Lipschitz连续的，即 $u\in C^{0,1}_{loc}(D)$. 事实上，这是$u$的最优正则性。它的证明需要用到形变区域的变分，类似于stationary调和映照。再者，$u$满足所谓的非退化条件，$\forall x_0\in \overline{\{u>0\}}\cap B_{1/2}$,  总有$\max\limits_{B_r(x_0)}u\geq Cr$;  $\forall\ \ x\in B_{1/2}$, $u(x)\approx dist(x,F(u))$, 不妨设此时$D=B_1$, $0<r<\frac{1}{2}$.   这对于研究blow up limits至关重要。

然后考虑自由边界存在的情形，定义$F(u)=\partial\{u>0\}\cap D$, $\Omega_u=\{u>0\}\cap D$.  这是最关键的部分，也是最难的部分。我们这里并不完全按照[AC]来描述，在该文中，他们研究了Lipschitz连续，正部调和且具有线性增长的函数的性质，并进一步提出了一类one phase FBP 问题的弱解形式，当然它包含了不是变分极小解的情形，再后来Caffarelli提出了FBP粘性解的概念。总体的思路是从变分极小解的性质中，抽出某几类关键的性质作为一个函数类来研究，套路和De Giorgi Class一致。

对于自由边界条件，[AC] 文中给出了在积分极限意义下的定义，以及在弱解定义中给出了另外基于reduce boundary的一种定义。显然当$F(u)$光滑时候有$\frac{\partial u}{\partial \nu}=1$ on $F(u)$，其中$\nu$指向正部分。 事实上，在De Silva的文章中出现了两类抽象出的粘性解的定义，当然变分极小解都满足相应的定义。

定义(1)   $u\in C(B_1)$,  $-\Delta u=0\ \ \ in\ \ \ \{u>0\}$,  不妨设$0\in F(u)$;

     对于任意的$x_0\in F(u)$, 若此处有内切球或者外切球，则 $u(x)=<x,\nu>^+o(|x-x_0|)$ as $x\rightarrow 0$.   

定义(2)  $u\in C(B_1)$,  $-\Delta u=0\ \ \  in\ \ \ \{u>0\}$,  不妨设$0\in F(u)$;

     对于任意的$x_0\in F(u)$, 若此处有下接触函数$\phi^+(x)$，其中$\phi(x)\in C^{\infty}(B_1)$, $|\nabla \phi(x_0)|\neq 0$, 则 $|\nabla \phi(x_0)|\leq 1$; 若此处有上接触函数$\phi^+(x)$，其中$\phi(x)\in C^{\infty}(B_1)$, 则 $|\nabla \phi(x_0)|\geq 1$;

在定义(1)中，我们后来知道这种有内、外切球的点实际上都是正则点，可看[CS]的第一章或者讲义。当研究自由边界的时候，不管哪种定义，我们这时候都要研究自由边界点处的blow up 序列。（需要注意的是Caffarelli后来需要一族需要的R-Subsolution所需要的切球条件，完全和以上相反，实质是由新的比较定理决定的。

可以给出定义(1)的某种证明：

先考虑有外(left)切球的情形，可以证明在$\{x:x_n>0\}$有$u(x)=\alpha x_n^++o(|x|)$, 再由非退化的性质可知道必有$\alpha>0$. 这样就推出了此时的blow up limits 必为 one-plane 解，符合regulart point的定义。进一步可以证明该点附近处的自由边界$\epsilon$-Flat，然后就就是光滑的。事实上，也可以从讲义的第九章末尾直接推出来。

再考虑有内(right)切球的情形，此时显然在$\{x:x_n>0\}$的区域有$u(x)=\alpha x_n^++o(|x|)$, 且$\alpha>0$, 利用ACF或Weiss单调公式和$\Omega_u^c$在自由边界处的一致测度比例下界可知$u_{\infty}(x)=\alpha x_n^+$，故光滑.

不论哪种情形，通过扰动和取blow up极限，总有$\alpha=1$,这样就验证了条件，参见[CS]第一章结尾。

定义(2)的验证也可以通过blow up limits的研究来说明问题。自然在平点情形，blow up limits是唯一的。  

定义 $u_{x_0,r}(x)=\frac{u(x_0+rx)}{r}$, for $r>0$. 此时  $u_{x_0,r}(0)=0$,$ |\nabla u_{x_0,r}(x)|\leq L$. 从Arzela-Ascoli定理，并运用对角线方法可以挑选出收敛子列，收敛于$u_0$ in $R^n$， 事实上, $u_0$是一次齐次函数，收敛还可以做到$H^1$ strong 收敛，自由边界Hausdorff距离收敛，正集按照L^1收敛，梯度弱*收敛，几乎处处收敛.  当$u_0=<x,\nu>^+$时，我们称$x_0\in F(u)$为正则点$Reg(\Omega_u)$，否则称为奇异点 $Sin(\Omega_u)$。

 

接下来，还需要讨论的是：

局部上来讲, F(u) 具有$n-1$维测度有限，并且有性质

$$\forall x_0\in F(u),  0<r<dist(x,\partial D), \exist c\in (0,1), s.t.  c\leq \frac{|B_r(x_0)\cap \Omega_u|}{|B_r(x_0)|}\leq1-c. $$

 由此两条可以推出$\Omega_u$ 是局部可求长集合，并且  $H^{n-1}(F(u)- F^*(u))=0$, 这里 $F^*(u)$ 为reduced boundary. 

这里完全没有用到单调公式，如果再使用Weiss单调公式，则可以得到更精细的结果。

对于正则点来讲，通过blow up 序列的收敛，可以让自由边界变得Flat，然后有Flat 推出 $C^{1,\alpha}$ 正则性，其中$\alpha\in (0,1/2)$.

最后就是$Sin(\Omega _u)$点的结构的研究。

 

当然，这里面的方法是和障碍问题，极小曲面是完全平行的。

Weiss关于变分极小解的blow up集的奇异情形进行了分析，后来知道$k*=5,6$猜想是光滑的，但还没有证实。其中是[AC],[CJS],[JS],[DS]的工作导致了这样的猜测。

此外似乎奇异点的blow up 解的唯一性和临界维数也还没有解决。