Notes on obstacle problem
Given a nonnegative function, $u$, defined in some domain $D\subset R^n$, denote
$$\Lambda(u)=\{x\in D, u=0\}, \Omega(u)=\{x\in D, u>0\}, F=F(u)=\partial\Lambda\cap\partial N.$$
We are intersted in studying the regularity properties of $F(u)$ at the origin, for $u$ a function belong to $P_1$, where the set of functions $P_r(0<r<\infty)$ is defined as follows:
$u\in P_r(M)$ if
(a) $u\in C^{1,1}(B_r)$, $\sup\limits_{B_r}|D_{ij}u|\leq M$ (for any two directions $i,j$, not necessarily orthogonal),
(b)$ u\geq 0$, $0\in F(u)$,
(c)$ \Delta u=1$ in $\Omega(u).$
The main theorem is , unless $\Lambda(u)$ is very "thin", at the origin, $F(u)$ is, in a neiborhood of it, the graph of a $C^1$ function and inparticular $u$ is $C^2$ on $\overline{\Omega}$.
More precisely, we define the minimum diameter of a (bounded) set $S$ ($m.d.(S)$) as the infimum of the distances between pairs of parallel hyperplanes such that $S$ is containd in the strip determined by them.
we measure the thinness of $\Lambda(u)$ in $B_r$ by the quantity
$$\delta_r(\Lambda)=\frac{m.d.(\Lambda\cap B_r)}{r}.$$
Notice that $$2\geq \delta_r(\Lambda)\geq C\frac{|\Lambda\cap B_r|}{|B_r|}.$$
以下仅考虑 $\Lambda(u)^{o}\neq \emptyset$的情况. 即 的情况。
首先对$u$ is $convex$ and $u\in P_1(M)$ 的情形来证明自由边界是$Lipschitz$的, 进而是$C^1$的;
对于一般的 $u$, 不一定凸时, 做Blow up, 此时对于Blow-up solution $u_0$, 它是凸的,自然相应(Regular point)的全局解 的自由边界是$C^1$ graph.
然后用Compactness,当$|u-u_0|,|\nabla u-\nabla u_0|<\epsilon$ 时,$F(u)$局部表为graph是$Lipschitz$的,而且 水平集$\partial\{u>\lambda>0\}$也是局部具有同样的Lipschitz常数的graph, 且局部上$\partial\{u>\lambda>0\}$是一致收敛到$F(u)$. 数学分析中的Dini定理. 这里Caffarelli的Harnack用的是出神入化。事实上,这里可以进一步证明$F(u)$在正则点附近是$C^1$的。最后用Boundary Harnack得到$F(u)$的$C^{1,\alpha}$ 正则性。这里的证明是简化了的,最原始的证明看起来是蛮有思想性的! 为什么呢?在初始的文章里面,开始是在不同的尺度,用平行超平面夹住自由边界(有点Reifenberg Flat Domain的意思),当然不同的尺度下,超平面的法向量可能是不同的,即可能是在缓慢转动。但是没关系,通过改进二阶导数的下界估计,得到了上、下锥。然后根据M.D.的下界可以推出$0$的附近的时Lipshcitz的,在通过$\delta$的取法,实际还可以证明$F(u)$在$0$附近是$C^1$的。
最后考虑Singular point 的情况,比较复杂些。后来简化的证明主要在于单调公式。
最近 Ros-oton,Figalli,Serra解决了$n\leq 4$的Generic Free Boundary是$C^{\infty}$的猜想,是为记!