Notes on obstacle problem

Given a nonnegative function, $u$, defined in some domain $D\subset R^n$, denote

$$\Lambda(u)=\{x\in D, u=0\},  \Omega(u)=\{x\in D, u>0\},  F=F(u)=\partial\Lambda\cap\partial N.$$

 

We are intersted in studying the regularity properties of $F(u)$ at the origin, for $u$ a function belong to $P_1$, where the set of functions $P_r(0<r<\infty)$ is defined as follows:

$u\in P_r(M)$ if

(a) $u\in C^{1,1}(B_r)$,  $\sup\limits_{B_r}|D_{ij}u|\leq M$  (for any two directions $i,j$, not necessarily orthogonal),

(b)$ u\geq 0$, $0\in F(u)$,

(c)$ \Delta u=1$  in $\Omega(u).$

 

The main theorem is , unless $\Lambda(u)$ is very "thin", at the origin, $F(u)$ is, in a neiborhood of it, the graph of a $C^1$ function and inparticular $u$ is $C^2$ on $\overline{\Omega}$.

More precisely, we define the minimum diameter of a (bounded) set $S$ ($m.d.(S)$) as the infimum of the distances between pairs of parallel hyperplanes such that $S$ is containd in the strip determined by them.

we measure the thinness of $\Lambda(u)$ in $B_r$ by the quantity

$$\delta_r(\Lambda)=\frac{m.d.(\Lambda\cap B_r)}{r}.$$

Notice that $$2\geq \delta_r(\Lambda)\geq C\frac{|\Lambda\cap B_r|}{|B_r|}.$$

以下仅考虑 $\Lambda(u)^{o}\neq \emptyset$的情况. 即 的情况。

首先对$u$  is  $convex$  and $u\in P_1(M)$ 的情形来证明自由边界是$Lipschitz$的， 进而是$C^1$的；

对于一般的 $u$, 不一定凸时， 做Blow up， 此时对于Blow-up solution $u_0$, 它是凸的，自然相应（Regular point）的全局解 的自由边界是$C^1$ graph.

然后用Compactness，当$|u-u_0|,|\nabla u-\nabla u_0|<\epsilon$ 时，$F(u)$局部表为graph是$Lipschitz$的，而且 水平集$\partial\{u>\lambda>0\}$也是局部具有同样的Lipschitz常数的graph, 且局部上$\partial\{u>\lambda>0\}$是一致收敛到$F(u)$.     数学分析中的Dini定理.   这里Caffarelli的Harnack用的是出神入化。事实上，这里可以进一步证明$F(u)$在正则点附近是$C^1$的。最后用Boundary Harnack得到$F(u)$的$C^{1,\alpha}$ 正则性。这里的证明是简化了的，最原始的证明看起来是蛮有思想性的! 为什么呢？在初始的文章里面，开始是在不同的尺度，用平行超平面夹住自由边界（有点Reifenberg Flat Domain的意思），当然不同的尺度下，超平面的法向量可能是不同的，即可能是在缓慢转动。但是没关系，通过改进二阶导数的下界估计，得到了上、下锥。然后根据M.D.的下界可以推出$0$的附近的时Lipshcitz的，在通过$\delta$的取法，实际还可以证明$F(u)$在$0$附近是$C^1$的。

最后考虑Singular point 的情况，比较复杂些。后来简化的证明主要在于单调公式。

 

最近 Ros-oton，Figalli，Serra解决了$n\leq 4$的Generic Free Boundary是$C^{\infty}$的猜想，是为记！