看了位势论

最近，其实应该说是长久以来的一个问题，关于potential理论的一些细节性的疑问，这次弄清楚了一个大概。

从书籍的内容上来讲，这已经是非常经典的内容了，经过了Newton，Guass，Riemann，poincare，Riesz，perron，wiener，cartan等人的完善，应该说Laplacian potential theory的问题已经得到了完美的解决。事实上，在解决他的过程中，实分析的理论的到了很大的发展，比如看了Rudin的书中的Riesz表示定理不知道怎么回事，这里面就告诉了你怎么去用，当然这也是正的线性泛函，或者正广义函数可以和正则Borel测度联系起来，相当于建立了一套完美的理论体系。再者，在caffarelli的obstacle讲义中的Evans定理，实际也就是potential theory中的一步。自然在解决Dirichlet的问题中，本质上Poincare所谓的balayage（扫除法）的思路，直观上很形象，类似于牛顿的那个难题，在区域存在Green位势的前提下，本质上相当于基本解非负上调和来建立球内后者一般相对闭集的调和函数，保持球外和基本解相同，得到扫除法的位势及其约化，然后建立了一个所谓的capacity的理论，那么这个测度怎么来的？实际上相当于结了一个障碍问题，只不过他的处理方法有点像非散度的情形，而换一种思路做能量极小的障碍问题，这也可以推广至散度型椭圆方程情形，乃至于退化。这里面对于集合的假设是非常弱的。这样在解决dirichlet问题的过程中，用perron方法，自然是在上半连续下调和，下半连续上调和的框架下来解，边界值条件适当，可以定义出一个在区域内部调和的函数，这样就可以用调和测度的理论了，再者对于候选解能否取到边值，这里就出现了barrier的存在性，还有等价的wiener准则，事实上这些的联系在Landis的讲义上他是直接把全空间的基本解积分来当闸函数，这里检验时就用积分和求导数交换次序，当然他的问题在于障碍能量极小的存在性的证明。再有一个比较神奇的概念就是所谓的fine拓扑，还没有搞的太明白。整体来说就是要加入更多的“开集”，比欧氏空间的情形要多（比欧氏空间的具体拓扑要细致一些），使得所有的上调和函数(下半连续)都是“连续”的。  但我想需要记住的是哪些thin的点的开集的样子，确实能做到和欧式的完全不一样。

 

2022年8月20日

最近有花了点时间看了看 Finer property of solutions of PDEs, 这一次是彻底看完整此书前150页，这就够了。在能量的框架下，证明了p-laplace型的wiener准则，有意思的是关于连续边值的取法，这里真的是给出了一个巧妙的转化。这样再结合那个退化方程的位势理论的书，我自己对于此类问题已经的整个细节过程已经比较了解了。当然，这些方法再发展，也就是后面书的内容，某种程度上是一篇ACTA Math. 文章的展开。