一道题

已知 $w$ 是方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的根，其中$a>0,b>0,c>0,d>0$.

证明： $|w|\leq \max\{b/a,c/b,d/c\}$.

 具体证明如下，比较初等。

 

设$x_1,x_2,x_3$是方程的三个根。不妨设$x_3<0$, 那么

$$|x_3|=-x_3=\frac{bx_3^2+d}{ax_3^2+c}\in [\min\{b/a, d/c\}, \max\{b/a, d/c\}]\leq\max\{b/a, c/b, d/c\}$$

其次，仅考虑 x_1, x_2 为共轭根，则由韦达定理可知，

$$|x_1|^2=|x_2|^2=x_1x_2=\frac{d/a}{-x_3}\leq \frac{d/a}{\min\{b/a, d/c\}}$$

不妨设 $b/a\leq d/c$, 那么

$$|x_1|\leq \sqrt{\frac{d/a}{b/a}}=\sqrt{\frac{d}{b}}=\sqrt{\frac{d}{c}\cdot\frac{c}{b}}\leq \frac{\frac{d}{c}+\frac{c}{b}}{2}\leq \max\{b/a,c/b,d/c\}.$$

Q.E.D.

 

去给桐桐辅导，他还在写卷子，我就画了一下，ok。