L^p空间的性质的总结

　　主要参考一般测度论和Brezis的泛函分析第4章.

 $L^p$ 空间  对于pde来讲是非常重要的空间，它的性质也是非常丰富的（特别是强收敛，弱收敛等性质），一般散落于各种文献之中，现在趁着教实分析的机会将他们熔之一炉，方便查阅。  为简单起见，以下总假定 $\Omega$为区域。

 

1. 对于任意的 $f\in L^p(\Omega)$，$p>0$, $0<|\Omega|<\infty$, $\Phi(f,p)=\Big(\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}|f|^pdx\Big)^{\frac{1}{p}}$关于 $p$ 单调递增。(事实上对于$p\in (-\infty,\infty)$都是单调递增的。)

 

2. 如果$|\Omega|<\infty$，$f\in L^{\infty}(\Omega)$,  则必有 $\lim_{p\rightarrow \infty}||f||_{L^p(\Omega)}=||f||_{L^\infty(\Omega)}$.

 

3. 对任意的$\lambda>0$, 分布函数满足切比雪夫不等式或者Markov不等式:   $|\{f>\lambda\}|\leq \int_{\Omega}\frac{|f(x)|^p}{\lambda^p}dx$

 

4. 设$f$是$\Omega$上的可测函数，对任意的$\alpha>0$定义分布函数 $\lambda_f(\alpha)=|\{x\in\Omega: |f(x)|>\alpha\}|$， 则对任意的$1\leq p<\infty$,

$$\int_{\Omega}|f(x)|^pdx=\int_{0}^{\infty}p\alpha^{p-1}\lambda_{f}(\alpha)d\alpha=-\int_{0}^{\infty}\alpha^{p}d\lambda_{f}(\alpha)a.$$

  本质上可以从$p=1$来看上述式子，其他情况相当于$p=1$时做变量替换即可，此时第二个式子即为所谓的层饼定理，第三个式子完全可以看成Lebegue积分的原始定义。

实际上$L^p(\Omega)$ 也完全隐藏在分布函数中，这是后来做$Marcinkiewicz$内插定理，$C-Z$估计的基本观察。

 

5. 设$\phi:[0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)$,   $\phi$ 在任意的$[0,T]$绝对连续，$\phi(0)=0$, 则  $\int_{\Omega}\phi(|f(x)|)dx=\int_{0}^{\infty}\phi'(\alpha)\lambda_{f}(\alpha)d\alpha.$

 

6.如果对任意的$p>>1$, (实际只需要一串趋近于正无穷大的$\{p_n\})$ , $f\in L^p(\Omega)$ ,  且存在$M>0$ 使得， $||f||_{L^p(\Omega)}\leq M$,  则必有 $f\in L^{\infty}(\Omega)$,

且$||f||_{L^p(\Omega)}\leq M$.   (此处可不用假设$\Omega$的测度有限还是无限，可直接研究其分布函数并用切比雪夫不等式即可。)

 

7. $L_{loc}^p(\Omega)$:     此空间不是可赋范的，但他可以定义可数半模，进而可度量化，为度量空间.  设$f$是$\Omega$上的可测函数.如何从$f\in L_{loc}^p(\Omega)$  推出 $f\in L^p(\Omega)$ 呢？ 当且仅当存在$M>0$ s.t.   $||f||_{L^p(\Omega')}\leq M$,  对任意的$\Omega'\subset\subset \Omega$. 证明用Levi单调收敛定理。

 

8. (Radon-Riesz) $1<p<\infty$, $f_n\in L^p(\Omega)$, $f\in L^p(\Omega)$， 若 $f_n\rightarrow  f$  weak  in  $L^{p}(\Omega)$,   $\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n||_{L^p (\Omega)}=||f||_{L^p (\Omega)}$, 则 $f_n\rightarrow  f$ in $L^p(\Omega)$.      

 

9. $(L^1(\Omega))'$ 同构与 $(L^\infty(\Omega))^*$;   $\forall   1<p<\infty$,  $(L^p(\Omega))^*$ 同构与 $(L^q(\Omega))'$, 其中   $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$;   $(L^\infty(\Omega))^*$是什么？可交换$C^*$代数，可参看 Yosida或者Rudin的泛函分析。

 

10.    $\forall   1<p<\infty$,  $L^p(\Omega)$ 为可分、自反、 一致凸Banach空间。

         $L^1(\Omega)$ 为可分Banach空间。        $L^\infty(\Omega)$ 为不可分Banach空间。

 

11. $1<p<\infty$,  $L^p$ 中的有界序列必有弱收敛子列。

     $L^\infty$ 中的有界序列必有弱$*$收敛子列。        证明用 Cantor对角线法。  再推广则为所谓的$弱*列紧$。

 

12. (Brezis-Lieb)$1<p<\infty$,  序列 ${f_n}$和$f$都属于$L^p$ 。

若  $f_n\rightarrow f$  $a.e$  $\Omega$,   $\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n||_{L^p (\Omega)}=||f||_{L^p (\Omega)}$, 则 $f_n\rightarrow  f$ in $L^p(\Omega)$.   

 

13.(Banach-Saks) $1<p<\infty$,  序列 ${f_n}$和$f$都属于$L^p$ 。 若  $f_n\rightarrow f$  weak in   $L^p(\Omega)$,    则存在子列$\{f_{k_n}\}_{n=1}^{\infty}$ 使得$\frac{f_{k_1}+......+f_{k_n}}{n}\rightarrow f$ in $L^p(\Omega)$.

    Mazur推广了上述定理。改为凸组合。（对于赋范线性空间中的凸集，弱闭和强闭等价）

 

14.  设$1<p<\infty$, 序列$\{f_n(x)\}$是$L^p(\Omega)$中的范数一致有界序列.  如果 $f_n\rightarrow f$ pointwise a.e. $\Omega$，则$f_n\rightarrow f$ weakly in $L^p(\Omega)$.  此处 $f_n\rightarrow f$ pointwise a.e. $\Omega$ 可替换为$f_n\rightarrow f$ in measure.  事实上，3个基本收敛定理均可将几乎处处收敛替换为依测度收敛。