Caffarelli六法的新体会

Caffarelli六法 

来自Juan Luis VÁZQUEZ在Luis Caffarelli 60大寿上的presentation。

Luis’ World：

1 Paraboloid that touch functions
2 Planes that move to touch
3 Scales that are and are not 1
4 Angles that open up if you are Luis
5 Inequalities that pop up
6 Monotonicities that are just there

 这是以前别人MSN上的文字。

 

我也来猜猜.

 

第一个应该是指他在Fully Nonlinear Elliptic Equation,  Monge-Ampere方程里面，证明viscosity solution的Harnack, $W^{2,p}$正则性时，拿parabolid来比较、逼近的方法

第二个应该是指他在证明viscosity solution的类似于ABP中的移动平面的方法。

第三个应该是指在椭圆PDE中，只要做B_1就可以了，然后Scaling 或者迭代。

第四个应该是指证明自由边界Lip推出$C^{1,\alpha}$连续性时的方法：这个边界上的每一点处找一个一致锥（固定方向、大小、张开的角度），使得自由边界在这个锥外面

第五个我也猜不到，似乎是说单调公式的应用；

第六个是找上面那种锥的方法，证明函数沿着这个锥里面的方向上是单调增的，比如他的自由边界那本书里面，对调和函数，从所谓的$\epsilon$单调性推导出完全的单调性

 

W在12年就提醒我看一看CS中的内容，当时看了，没有任何感觉，其实原因部分来自于对问题不太懂，CS书上有些地方写的感觉比较晦涩，而且还有一个地方写错了。而最近想起来把内、外切球情形的正调和函数的内球内，外球外的线性一阶展开部分仔细看了看。首先，书上部分的Main Tools关于外球部分的有些论断是错误的，但是在Caffarelli的原始文献中没有这样的问题，因为它增加了调和函数是到边Lipschitz连续的，这样就排除了反例的情形(不过说实话，我还是有一点点困惑，即将其余部分延拓0，其得到的解的Lipschitz常数改变了没有，或者说有没有控制，似乎是可以的。但是更重要的是从变分极小解来推出的性质OK就可以了。例如，one phase 问题，如果直接从变分极小出发，就没有这样的问题，因为解本身就是subharmonic的，而且是Lipschitz连续，这样就可以再用它的证明过程了)。这也就是之前老师一直说的反例情形，原因也是简单的，即在外球外区域的样子实际上可以是奇形怪状zigzig的（zhang, Li and I的反例），甚至可能有一串趋于原点渐进缩小的洞，这样就不能在远点有一阶线性渐进展开了,NTA渐进展开也不行，所以是有问题的。。

 

正如CS的书上所说的，障碍问题的方程看起来好些，但自由边界的性质确实很复杂的，尤其是奇点附近，A.Figalli等人最近做了非常好的工作。phase问题的自由边界方程看起来不那么好，（如果有自由边界的话），但是自由边界看起来相对比较简单，因为这里面$\Omega^+$在自由边界点附近性质比较好，根据相应的性质可以和EG书上第五章的定理可以判定它为set of finite perimeter局部有限周长的集合。对于解的正则性，最好就是Lipschitz。而自由边界的性质则可以通过De Giorgi极小曲面的那一套Reduced Boundary理论来研究。这也是自由边界问题的一大难题。

 

总的说来，自Alt -Caffarelli以来，One-Phase问题的研究也是发展迅猛，特别是最近几年D. Jerison, De Silva等人的工作。开始是变分极小解、局部极小解，得到一些性质后，提出某种弱解，然后证明极小解，局部极小解是弱解，这里总觉得反反复复出现了一种思想，即它某类微分方程的解纳入到某种广义的解集合里面，此广义解集合中的弱解未必是极小解，类似于变分法中的鞍点。当我们回到极小解的时候，我们会需要变分二阶导数$\geq 0$，即稳定解。就好比，Minimal Surface仅仅是平均曲率为零的曲面，至于Area Minimizing则也可以提出稳定解的概念，一样的对变分求二阶导数。最后做blow up 研究弱解的性质，以及相应的自由边界的性质。这是一种极端抽象的方法，即通过一些特征来定义一类解。而后ACF研究two phase 问题，提出了ACF单调公式，得到了和one phase类似的结果。此后，Caffarelli 将之前广义解的思想推广到一类粘性解上，（如果有自由边界存在的话），其实主要想来就是来自Lipschitz连续性，自由边界的性质，以及相应的解的自由边界条件。它给出了他所构造的解的存在性，解的正则性，自由边界的有限周长性质，以及Flat point得到Lipschitz，最后从Lipschitz的到$C^{1,\alpha}$, 这样KN的古典理论就可以应用了。

 

2019.6.11

 

 

现在关于CS中的自由边界问题还有一些困惑，主要集中在线性一阶展开这里，总觉得这东西无法直接理解，*现在看来主要是对变分极小解抽象出的内容，内外切的自由边界情形，实际上都是正则点。此外对于Caffarelli搞的这套理论，当然是在解$u$非退化的情形下做的，这个总感觉应该是个先决条件，否则可能没有自由边界。对于他所说的上下解理论的解释还是蛮有道理的，特别是那个形变比较定理。这样陆陆续续又把[C1]看了一遍，对于计算过程了多了些了解。

 

正如刚才所说的，在变分问题解得到后，完全可以提取出一些关键性质, 此时的主要目标是自由边界的正则性.

 

(1) $u\in C(B_1)$ 非负，在positive部分调和$-\Delta u=0$，在$B_1$上Lipschitz连续;

(2) $u(x)\geq c\dot dist(x,FB(u))$ for $x\in B_{\frac{1}{2}}\cap \{u>0\}$;

(3)$0\in \partial\{u>0\}\cap B_1=FB(u)$.

 

第二个条件应该某种意义下就是tangent ball的一种理解，当然这都是事后来看的。caffarelli 利用Hopf lemma 创造了自由边界问题的粘性解理论。

 

我想这个时候应该比较清楚了，如果按照上述三条来看问题，就和在障碍问题中的做法是同一个套路：满足的方程，解的正则性，非退化性以及自由边界的设定。

当然沿着上述3条假设可以推出自由边界的$n-1$维Hausdorff测度有限，再加上伪引理，$\{u>0\}$ 是局部可求长度的集合，这样自由边界就是局部有限周长了，可以用De Giorgi的理论来定义所谓的约化边界, i.e., Reduced boundary. 

 

说了半天，归结起来相当于一个反问题，现在有一个满足那3条函数存在，问你自由边界的正则性会是什么样子的？如果正过来问，那就是一般的边界正则性估计。

 

再说一句废话，弄了半天，其实这都是如何去理解调和函数、上调和函数的性质。 

 

当边界是Lipschitz图像时，正的连续取边值为0的调和函数的Boundary Harnack 不等式， 这无疑是一个异常深刻的结果！

 

 2019年12月31日立此存照：Main Tools困惑已经解决了！ 以上的内容我修改了一点点。