火花

2013-05-15 （后来记的）

昨天初中同学找我来玩，中午抽空写出了迭代格式，可惜那个时候还是没有办法解决他们的收敛问题。

今天凌晨应该说是个挺有意思的时候，一宿没有睡，从十二点开始研究边界迭代的收敛问题，开始以为已经找到了解决的方法，但是发现不行，有点泄气，然后反复尝试了好几次都没有效果。从之前DSLi的文章开始研究，又看了LWang的递归迭代，发现按照道理来说，我们先考虑最简单的情况，有就是只有半空间外部Dini条件的时候，应该会有的收敛格式的。但在那会儿找不到感觉，于是就在纸上瞎画，这样一晃就差不多两三点了，喝了点牛奶，决定想睡觉了，可是睡不着，脑子很兴奋，一直还在考虑应该用一种怎么样的方式来迭代，才能得到我们的结果。

 

后来，还是由华罗庚的想法，怎样从比较简单情况， 也就是只有半空间内部flat的时候，结果发现这个时候比较容易证明，之后很奇妙的是：之前在伯克利问题集上做的一个数学分析习题，这个时候进入到我的脑袋里面来了。（这个问题我找出了一种比较好的方法，似乎比答案的巧妙。） 这样就直接证明了平面的斜率是收敛的问题，因为有反例说明不能有更好的结果，因此我们的证明是有效的。。。这样就直接简化了DSLi的证明，简短的几行数学分析的技巧即解决了问题。之后就有点想再对原来的问题进行解决，开始似乎还是不行，不过有了刚才的积累，我现在感觉找到了问题的突破口，就是沿着新的思路走，同时充分利用外部Dini的条件，再加上正项级数部分和的单调性，很快证明了上面的Scaling截距级数是收敛的。Ok，只要有这一步，那么其他的部分也就是照猫画虎写了出来。

该问题的证明结果表明了内部和外部边界对迭代格式的影响，同时也在内部flat的条件下，改进了Safanov的结果。这应该是比较有意思的。事实上，在仅有外部Dini的条件下，重新给出了该点的Lipschitz证明，注意我们的条件是对边界只有逐点的假定。下面的想法应该是怎样证明最简单的Hopf Lemma. 但这个似乎还得用那个和调和函数的比较定理，也就是说仅仅需要调和测度的证明即可。事实上,如果能够证明Hopf lemma 类似的东西, 我们可以得到和A.N.Naraz 一样的结果, 他们的没有发表过, 也就是特殊凸的边界点, 如果不Dini, 则导数一定是0. 这样就更说明了Hopf lemma 的精确性......

最后还差一点的是，如果每一点都是这样，会不会有沿着梯度连续的导数，这个凸区域是有反例的，我们现在还不太清楚，不过猜想应该也有反例。。 如果不需要一致的邻域，我想这个反例在Li老师的文章上，已经有了反例了。

事实上，由ABF定理可知，凸区域是几乎处处$C^{1,1}$的，因此不可能由那样让Hopf引理全部不对的区域。 再者，现在已经知道了，就是说，不是像有人说的，没有逐点的先验估计，事实上，除角点（有些奇怪，依赖于边界Holder估计)有估计之外，事实上平点是逐点都有估计(2016).

再就是，我们对一般抛物凸区域的边界可微性的研究也将更加深入了。。。

Hopf引理的New proof已解决！当然Nazarov的结果也很不错！事实上，对于反例情形，我找到了两种证明方法，一种是Nazarov的变体，一种是角点情形的变形。Sharp