等待

 2013-05-15 

一晃离去年去上交的时间有一年多了，中间所获得的一些估计现在也陆陆续续有些消息了。当自半离开学校后，疲于在外晃荡，PDE的文章也看的少了，主要还是之前打印的一些文章。在3月的一天，忘了具体日子，听说M.V.Safanov要过来讲学，就拿起原来做过的Lipschitz边界估计对含有低阶项的情形试了试，发现开始自己想加的条件比较粗糙，需要低阶项系数的L^n模都必须是Dini的，当然这个虽说比O.A. Ladyzhenskaya and N.N. Ural'tseva（1988）的好，和M.V.Safanov（2010）有些交叉，但还没有比他的好，因此猜想应该还是在x_n方向上的系数加合适条件才可以，然后仔细Check了一下证明的细节，主要是计算Barrier函数的导数，结果照着一年前过年时在家里的想法发现，我的猜想正确，只需要在b _n的L^n模加条件就可以了，而且我是自己做的弯曲边界情形，当然条件要比M.V.Safanov所说的弱一些，为此还兴奋了一小下。结果在网上找到了A.I.Nazarov（2012）的文章发现，他也和我得到了一样的结果，当然他使用了G.Lieberman发现的ABP极值原理的变体，所以可以在低阶项里面添加一些别的"单纯"x_n条件，不过我试了一下，大概如果我把极值原理也换成他的样子也可以有相同的结果。在定理中他依然只考虑半空间的情形，然后说可以根据M.V.Safanov的证明（不含低阶项）可以处理弯曲的情形。而我们是直接迭代处理的，不需要任何其他的理论，只是极值原理，Barrier函数技巧以及迭代方法。我觉得我们的方法更加直观。 抛物情形类似处理。 这个事情告一段落。 

 

自看了M.V.Safanov的文章，知道他可以减弱Trudinger等人的条件处理Harnack不等式时，促使我思考含有低阶项的线性一致椭圆方程在凸区域的边界可微性。 基本已经知道了，处理Lipschitz估计时所需要注意的技巧时，我已经意识到这个事情是对的，Dongshengli说此Harnack常数是单调依赖的，这样我们就可以写出证明了。只需在暑假集中精力，和Guanghaohong讨论讨论Check证明细节就OK了。可以给Lihe Wang写封信，问问关于内部以及边界的C^{1,Dini}在相应较弱的条件是否正确？

 

当然，为什么要讨论低阶项的东西呢？据说是为了了解N-S方程的正则性，这应该是个合理的方向。。。。。

 

 （2012 某天）  A.I.Nararov和另外一个数学家的没发表的结果仅仅是Hopf Lemma的否命题和Li and Wang凸区域边界可微分性质的一个推论而已。 如此而已，并不稀奇！ 

 

立此存照！

 

关于$b_n$， 我现在已经得到了所有的sharp估计. 2019