完全非线性抛物方程正则性理论的主要内容

这是很久以前写的东西

王立河老师的关于完全非线性抛物方程正则性理论的博士论文的主要内容:

1.平行于椭圆情形(L.Caffarelli在Annals 上的经典文章),我们可以研究完全非线性抛物方程的粘性解理论,首先解的存在唯一性,这是Ishi和Jensen的工作.接下来的关于粘性解正则性理论,王立河得到了抛物型方程粘性解的A-B-P-K-Tso极值原理（难点在于证明$\Gamma_u$的$C^{1,1}$正则性，原文的证明是正确的，只是有些笔误，还有就是需要carathedory的一个凸分析的定理),继而可以证明抛物型Harnack不等式(包括弱Harnack不等式和局部极值原理),（难点同样在于你要做一个抛物版本的Caldron-Zygmund分解定理，同时迭代的时候要考虑t方向的增长,其实这一点我才刚看明白,主要是证明一个迭代，形如抛物线累加的方体。然后选取有限步m的值,使得相对应的迭代一定能够覆盖上方的单位方体，这样上方的单位方体的解的下确界的信息就能往下回归利用了，这里原文部分事实上是有一些写的比较随意，有个引理的叙述不是那么严格证明，思想是完全正确的。后来Imbert和Silvestre给出了一个更细致的关于抛物Harnack不等式的证明），这样就得到了Viscosity Solution的Harnack不等式（事实上，毕其功于一役，把$W^{2,\epsilon}$估计顺带也做了），进而内部$Holder$连续性. 多项式逼近的技巧和$Holder$连续性描述等同于Campanato-Morrey空间的理论.  总之，抛物型方程的Harnack不等式的证明稍微显得有点繁琐，这里需要对于基本的迭代引理需要好好理解一番，也就是说，不一定非得需要$K_3$里面所有的点，事实上，只需要哪怕是某一$t_0$ 时刻的一个截面上有不大于1的点，那这迭代依然可以进行下去，即扁扁的$K_3$照样能做迭代。这样方便后面的C-Z分解引理的一种变型的应用。

2.关于线性化处理以后的方程的解集合$\overline{S}(f)$,他可以证明基本上Super-Viscosity Solution 是几乎处处二阶多项式逼近的. （最早的结果似乎是Truding等人证明的，xujia Wang 后来也给了一个类似的所谓Rademacher Stepanov定理的证明，自然此类结果最早是Calderon证明的，即Sobolev空间的函数的逐点可微性，pointwise。）这在某种意义上，对于连续的粘性上解（注意最初的Ishii的粘性解本身他可能是不连续的）几乎处处punctually二阶可微，几乎处处逐点满足微分不等式，这样就排除了绝大多数的非粘性上解的连续函数。而对于$S(f)$，自然粘性解是几乎处处二阶可微的，且相应的Taylor展开系数几乎处处满足一个线性一致椭圆方程，注意此时的系数即有可能是不可测的函数。

3.接下来王立河老师在固定系数的齐次方程拥有内部$C^{1,1}$估计的条件下,用凝固系数法证明了粘性解的内部证明了$W^{2,p}$ 估计（此时的证明和椭圆情形差不多，比$W^{2,\epsilon}$来的简单）,注意和椭圆情形一样,他要求$p>n+1$. 其中$W^{2,\epsilon}$估计的右端项是$||f||_{L^{n+1}}$模(线性椭圆情况最早是由Fanghua Lin博士期间得到的,caffarelli后来推广到粘性解得情形,特别需要注意的是这里小\epsilon不需要所谓的凝固系数的内部 $C^{1,1}$估计.). 作为应用他证明了几类特别的完全非线性椭圆方程的$W^{2,p}$解的存在性. 后来在2003年左右的文章中，Wang 发展了Vatili Covering 和 $W^{2,p}$ 估计的方法，并推广到W^{1,p}的情形(Reifenberg区域),产生了很多后续的文章。 $W^{2,n-\epsilon}$估计由L.Escauriaza获得。  

4.在第二篇CPAM上的文章中,Wang 证明了在齐次方程拥有内部$C^{2,\alpha}$估计的条件下,用凝固系数法和多项式逼近技巧得到了相应的$C^{2,\alpha}$估计,作为副产品,得到了内部二阶可微分的充分条件,即所谓的Dini条件（最近，我对一类特殊的方程完成了他的一些想法；之前有人写的是很有局限性的）.在接下来的章节中通样他证明了内部的$C^{1,\alpha}$估计,不过这里使用的方法是紧方法,该方法起源于De Giorgi 研究极小曲面时发现的,对非线性椭圆和抛物方程非常重要. 对于$Du$不出现再右端的情形，这里有一个Remark是说，事实上$C^{1,\alpha}$估计对一个开集是成立的。对于右端项关于$|Du|$的增长不是太快的话（非散度型型椭圆方程）,可以得到相应的$C^{1,\alpha}$,因为太快的话会有多解,自然就会有反例了,在林芳华和韩青的书上有例子.

5.在第二篇后续的论文中,Wang主要发展了多项式的迭代技巧,其中引人注目的是他关于Lateral Boundary的$C^{1,\alpha}$估计,几何上的意思非常到位（边界是$C^{1,\alpha}$）,主要工具却只需极值原理和Harnack不等式,他的结果比Krylov的要强(似乎Krylov需要边界$C^{1,1}$,待查证). 注意Wang的结果是在弯曲的边界做Pointwise估计,这算是那些只做柱体情况的一个推广.当然作为一个副产品,他得到了边界一阶可微的充分条件,即Dini条件.在后来的文章中李老师发展了他的方法证明了线性非散度型椭圆方程在凸区域上的边界可微分性质,他的结果对$W^{2,p}(p>n)$的强解结论也是对的，李同时给出反例,说明不能有沿着边界连续的导数，结合$W^{2,p}\hookrightarrow C^{1,\alpha}(p>n)$ 说明，对poisson方程来讲，$W^{2,p}$估计$(p>n)$ 对一般凸区域是不对的，当然这样的例子很早就有了，这只是一个副产品. 关于抛物型的结果是我做的，结论和椭圆差不多，相当于是一个习题。

6.后续中，Wang说明了边界的$C^{2,\alpha}$ 估计也可以同样的做下去，同时在Lipschitz边界条件下，用迭代方法得到了边界的$C^{\alpha}$正则性估计（对于散度型方程而言，这就是要对trace做深入理解了），结合前面的结论得到 全局的$C^{\alpha}$估计，其实现在这些事情我可以直接用wang在$C^{1,\alpha}$估计的方法中的某一步，即用线性函数的截距部分来比较(Lipschitz估计需要斜率，其他$C^{\alpha}$估计只需考虑斜率为$0$)来全部做到。事实上这个在线性情况是已经知道了的，即满足外锥条件即可，而陈亚浙的书偷懒了，加的是外球条件, 当然陈的书上对于Holder指数的估计做的比Caffarelli书上要好，是$\frac{\alpha}{1+\alpha}$, 不只是$C^{\frac{\alpha}{2}}$。

7.前面的边界估计都是对侧边做的，之后王立河做了关于底部边界点的相应估计Bottom Boundary的$C{2,\alpha}$估计，这个估计的主要来源于相应的边界点正则性假定：可以在底部放一个曲率很小的反抛物面，事实上条件还可以减弱，但是"小"却不能去掉，因为在Kohn和Nirenberg的文章中有反例，$C^{1,\alpha}$估计的边界条件是一样的，只有$C^{\alpha}$估计只需要有有界的反抛物面就可以了。我在毕业论文中对这些内容全部推广到了$Dini$情形。在最后的第三篇，Wang用上述的方法给出了Kohn和Nirenberg关于Bottom Point 的一个猜想的证明。(大概意思是说 Lateral边界是不能太平, 太平了就成了Bottom point了).仔细想了想, 抛物的Scaling的情况, 其实没事,如果太尖了,那么区域的正则性主要由边界上的值来控制.

8.沿着前进的道路继续，平行于椭圆的理论，Wang 证明了固定系数齐次完全非线性抛物方程的内部$C{1,\alpha}$估计，为前面的工作扫除了障碍。对于相应的$C^{2,\alpha}$估计，最早是Evans和Krylov做的，但是他们的条件要求假定F是凸或者凹的，这样虽然可以得到Monge-Amper\'{e}方程内部的$C^{2,\alpha}$估计，但是这样就排除了很控制问题中出现的Homilton-Jacobi-Bellman方程。因为有Nikolai Nadirashvili的反例说存在不是$C^{1,1}$的解，这说明最优的估计是$C^{1,\alpha}$,因此必须对F加不同的条件来得到相应的估计，事实上F是凸或者凹话，F基本上是几乎处处$C^{1,1}$的(,事实上用到了凸函数的一个定理,即凸函数是几乎处处存在二阶多项式逼近的.)，后来X.Cabr\'{e}和袁域($C^{2,\alpha}$先验估计)分别在几类非凸或非凹的情形得到了$C^{2,\alpha}$估计。最近O.Savin和L.Silvestre基于自由边界和极小曲面的研究中的发现对于Flat solution 来说，可以得到$C^{2,\alpha}$估计。在O.Savin和L.Silvstre的证明用到了紧方法，几何的想法在Wang早期Harnack Approach的文章中出现过。而Qingbo Huang 则是做了个调和处理，他的结论是$C^{1,1}$加上Liouville性质可以和$C^{2,\alpha}$大概是等价的，Cao 和 Li 在F是$C^{1,\beta}(0<\beta<1)$的条件下从$C^2$推到了$C^{2,\alpha}$.

9.最后的最后，一个古典的关于Schauder估计的Patching Argument可以得到全局的Schauder估计。(定理的证明过程实际上就是操作过程，另外可参考L.Silvestre的CPDE的文章的附录.)  这里需要边界点处的估计要有一致的几何形状，或者说控制，而这在好的边界情形是显然满足的。（这样就不要像GT第六章那样分三种情形讨论了。）有了这个patching的结果，最后再对（Strong) Lipschitz  Domain就可以得到古典的$C^{k,\alpha}$了。这中间的内容最早就是Campanoto所证明的，后来又被Kovats 推广至Dini的情形，也可见Xavier Osoton等人的书。