关于CC的完全非线性椭圆方程一书的一些小结

CC的整本书主要是想要研究在粘性解的框架下的一致椭圆方程解的正则性。我们试着一章一章来解析他。

2019年2月

序言部分也是值得每一个字细读的，主要讲述了他们的工作的主要内容，即在粘性解的框架下研究解的正则性，需要特别注意的是，他研究的是一致椭圆方程，整本书的理论并没有超出出Bellman方程，Issac方程的范围太多。实际上，我们可以把他们看作是某种思想方法的一个总结，期望可以将这些想法推广到其他方程上面去，当然Caffarelli成功的将他们应用到MA方程的研究中。第一章，CC给出了用来研究粘性解正则性的一个Genius式的想法，即用抛物面的接触，线性函数的逼近来研究函数的性质。特别是对于二阶导数，他们用$\theta$函数来控制，它是一个可测函数，且用它可以控制二阶导数的在逐点意义下的值。这一点，才开始学时是不能太明白的。就好比，你要描叙一个函数在二阶导数的值的绝对值不超过1，那么你如果直接用逐点的导数来说明，那么这样一个结果在迭代过程中是没有用处的，必要要有一个Infinitasmal的角度来描述，也就是相当于减掉线性部分以后，用$r^2$来控制就能说明这才是你真正想要的东西。实际也就是，你需要一个Scaling不变的，且可以进行迭代的目标，否则就没法做了，这在散度型方程里面就需要用极大函数来描述，而极大函数恰恰是Scaling不变的。也就能说明什么叫“一阶导数、二阶导数”在某一点的值的绝对值不超过1. 有了这样一个定义之后，结合广义函数理论和Riesz表示定理就可以将解的二阶导数的估计用差分来替代，这样就为$W^{2,p}$估计奠定了基础。这里需要注意的是，抛物面局部上可以认为是和球一样的东西，应为和他们接触之后所得到的还是关于某种类型的二阶导数控制，这样就可以定义粘性解了，而Caffarelli关于自由边界问题粘性解的那一套理论正是这个方法和Hopf引理的启发。接下来的内容主要是凸分析和几何测度论的基本知识，特别值得主义的是下半凸函数的几乎处处逐点可微分性质，这在后来的证明中扮演者极其重要的角色.  

 

在第二章，CC给出了粘性解的定理，用常微分方程和调和函数演示了粘性解和古典解的一致性。在给出一致椭圆的定义后，他们开始讨论连续粘性解的定义。这里其实我一直有一个疑问，解的存在性如何保证呢？即$F(M,x)$依赖于$x$的情形。同时关于后来Prop2.8的粘性解延拓定理右端怎么又可以间断了呢？（此处主要是对应于粘性解ABP极值原理在一般区域的Theorem3.6，可用其上Remark 2来解释）种种迹象总使我觉得有些费解，后来看了wang，Ishii等人的文章发现，最早的二阶方程解的存在性中的粘性解的定义里面并不需要解连续的条件，这也就能理解Wang在博士论文中的那句"Ishii用唯一性(比较定理)来证明解的存在性"。其实问题的关键在于你的粘性解是否连续。而Ishii后来主要是通过用边界值相同的上、下解的存在和比较定理的存在来证明连续粘性解的存在性。那么问题又来了，Ishii或者Jensen所说的方程，就算是含有$x$的情形他们所加的条件都比连续性要强。所以我当时困惑了。后来找到了99年Lions等人写的一个关于此类方程的连续到边的粘性解的存在性（包括C-粘性解，L^p粘性解），这才完全解决了我的困惑，他们主要是通过对$F$逼近$F_{\epsilon}$来做的($F_{\epsilon}$关于$x$是Lipschitz连续，那么$u^{\epsilon}$的存在性就没有问题了，在结合内部$C^{\alpha}$估计和边界连续模估计，用A.A.选取一致收敛子列极限就是其中一个$u$了，当然，因为$F$没有比较定理，自然$u$就不一定唯一了。(对边界再加一些条件，如$\partial\Omega\in C^{1,1}$，且$F$关于$D^2u$是凸或者凹的，加一个Oscillation的小条件，$L^p$粘性解的存在唯一性是没有问题的，其实就是Caffarelli的$W^{2,p}$估计。) 再者，即对$A(x)$不加任何连续条件，Safonov似乎证明了二阶线性非散度一致椭圆方程Good Solution的不唯一性，而此时Good Solution 又和$L^p$ 粘性解是等价的，而$F$的$CL$粘性解的唯一性后来也没人关心了. 再者你如果只研究一致椭圆方程的内部正则性，即你要有那样的粘性解我想还是可以随便一弄就OK了，怎么弄呢？很简单，考虑单位球，边界值为0，而这很容易用Ishii等人的证明，上、下解是很容易找到的，只要你的这种上、下函数好找就可以了)。当然这里面最重要的，当然是所谓的比较定理要成立了。应为最初是的粘性解是完全不连续的，不知道的，只能用Ishii或者Jensen的方法。因此，这里对CC的书来讲，他们主要研究的是$F(D^2)=0$，且$F$关于$D^2u$凸或者凹的情形，这样粘性解的存在性就没有问题了，然后用Jensen的方法去证明他们说的粘性解的唯一性。(即,  CC对于凸$F$,$F(D^2u)=0$在球上可解，搞了一整套理论; Caffarelli和Cabre的书上的理论，主要是在粘性解存在的前提条件下来提升正则性，至于粘性解的存在性如何得到？正如上面所说，需要一些适当的条件，比如解Dirichlet，Neuman，Robin边值问题，而Caffarelli在第九章的用所谓的他定义的粘性解关于方程的稳定性，古典的$C^{2,\alpha}$估计和Arlzela，Ascoli定理和比较原理证明了他说的粘性解的存在性。）。接下来, Caffarelli定义了$S(f)$, $\overline{S}(f)$, $\underline{S}(f)$, 这实际上扮演的角色就和De Giorgi Class所起的作用是完全一样的，可以这样认为，他在Krylov和Safonov定理的基础上建立了粘性解理论的De Giorgi 类，而这里的上下拿检验函数来Touch就相当于散度型方程里面的拿test 函数来做能量估计。关于线性化处理以后的方程的解集合$\overline{S}(f)$,可以证明基本上Super-Viscosity Solution 是几乎处处二阶多项式逼近的. （最早的结果似乎是Truding等人证明的，Xujia Wang 后来也给了一个类似的所谓Rademacher Stepanov定理的证明，自然此类结果最早是Calderon证明的，即Sobolev空间的函数的逐点可微性，pointwise。）这在某种意义上，对于连续的粘性上解（注意最初的Ishii的粘性解本身他可能是不连续的，加上适当条件解边值问题后就没有问题了。）几乎处处punctually二阶可微，几乎处处逐点满足微分不等式，这样就排除了绝大多数非粘性上解的连续函数。而对于$S(f)$，自然粘性解是几乎处处二阶可微的，且相应的Taylor展开系数几乎处处满足一个线性一致椭圆方程，注意此时的系数即有可能是不可测的函数。最后他给出了一些常见的方程的例子，并在Note中说明了如何建立$L^p$粘性解理论。因此以下的论述总是在连续粘性解存在的前提条件下来进行的。对于$S(f)$还有几句话想说，虽然它有很多好的性质，当然主要是乘个实常数，加个线性函数(甚至于光滑函数)，本身不会做太多改变，但是如果碰到两个元素相加、相减，他就无能为力了，也就是说，他不是一个线性空间，即它有某种非线性的东西在里面，这也为研究两个正的解在边界做比后的Compasion Harnack造成了麻烦，这也是现在的一个Open problem，当然，边界如果是$C^2$的，则证明是显然的，只需要拉平边界即可。事实上，我可以证明$C^{1,\alpha}, C^{1,R-Dini}$也是正确的，而对于Reifenberg区域，Lipschitz区域，这里的Carleson估计依然是正确的，但是$\frac{u}{v}$就要出大问题了，现在也不知道怎么办？也不知道是不是正确的。如果可以，那么FBP的一堆问题就可以作了，然而现在还是有很多的Gap. 关于有界边值$u=\varphi$的Dirichlet问题的, 在有些情况下是可以直接用caffarelli所定义的粘性解的，那存在性怎么做呢？注意到对于Caffarelli所定义的粘性解，考虑$F(D^2u)=0$, 不妨设$F(0)=0$, 这是常规处理。此时比较原理成立、强极值原理也是成立的，同时单位球上的连续边值的Diriclet问题也是可解的，且解在内部有一定的正则性(内部$C^{1,\alpha}$, 如果加凸性则可以直接用第九章的粘性解的存在性得内部$C^{2,\alpha}$.) 然后和调和函数情形的证明完全已知可以可到perron解，在边界值连续的点且存在Barrier的地方，可以的到解的连续到边界点的结论。这样，似乎也可以建立一套完全非线性方程的位势理论，对$F$加凸性的条件是完全可以的。似乎没有人来做，不知为何？还是说一切都是平凡的，没有任何的挑战性呢。自然也可以考虑$F(D^2)=f$的情形，可以对$f$加一些条件限制, 如$f\in L^\infty(\Omega)$，并且此时可以有“Hard”比较原理, 这时有CIL的文章的Remark5.C决定的。对$f$再加$f\in cap L^\infty(\Omega)$是为了造出Barrier函数, 进而存在性就的得到证明了。

 

第三章的ABP极值原理可以说是整本书关于正则性的理论基石，有了ABP就有了一切估计，正是基于这样的想法，很多人开始建立各种方程的ABP极值原理，想把Caffarelli的方法推广到其他方程上去。而ABP极值原理中最重要的信息隐藏在所谓的Contact Set之中。直观上来，对于边值非负的粘性上解，它的负部的最大值可以从方程上看出来，即$f\geq0$来控制，而$f<0$的部分对负部的最大值没有贡献，事实上，用来控制上解的负部的$f\geq0$的部分还可以缩小，即只需要接触集上的$f\geq0$的部分即可。这就是从几何上看。而整个定理的证明完全与基于凸分析中的边值非负的$C^{1,1}$ 凸函数的一个函数不等式。而上解正是通过凸包函数$\Gamma u$来建立估计式，最后用均值不等式来完成证明. 用到了一个非负定矩阵的性质， 若$A,B\geq0$, 则 $AB$的特征值均是非负实数，且$\frac{Tr(AB)}{n}\geq (det(A)det(B))^{\frac{1}{n}}$.  最后CC将ABP估计推广至任意有界区域，并在最后给了一般区域的极值原理（Cor3.7），而这仅仅只需要用粘性解的定义就可以的出，可以避免使用ABP估计。

 

第四章，主要是基于ABP极值原理证明了Harnack Inequality。此处可以要求$u\in S(f)$,  或者说在粘性意义下，$M^-(D^2u)\leq f\leq M^+(D^2u)$。 首先证明某种weak Harnack inequality，这里的叙述有点了以前De Giorgi 引理有些细微不同，其实如果把所谓的Doubling 性质加上去，那么他和之前的叙述是完全相同的。迭代后的到$L^\epsilon$估计，当然后来的$W^{2,\epsilon}$估计是同一个套路。然后对下解证明局部有界性，主要的想法是Turn the picture upside down! 结合$L^\epsilon$估计来推出矛盾。即总是可以证明如果有一点大，且该点的值大于某种自然的增长，那么一定可以在附近找到一个邻域使得里面还有比刚才的点还按照一定比例大的值，且领域的大小也有估计。这样用反证法就可以证明粘性解Scaling版本的局部一致有界性，这样就得到了Harnack不等式。（其实这一部分，我认为Wang的论文中写的可能更清楚，或者说最原始的caffarelli的证明反而是容易理解的，当然Caffarelli的这一步本质上是借鉴了Krylov-Safonov的想法）然后就是标准的局部极值原理，弱Harnack不等式的证明。最后CC给出了边界Holder估计，以及推广。这在后面的紧方法中得到应用。 这里面，利用弱Harnack不等式来证明，连续粘性解的强极值原理。这对于 $F(D^2)=0$来建立有界边值的Dirichlet问题的Perron解的其中一步是及其重要的（如同GT第二章的样子）。在本文中的证明可将方体换为球，这里有两种处理手法，一种是Safonov的，一种是O.Savin，想法主要是关键引理中的$\inf u \leq 1$怎么用的，这在Caffarelli的一次演讲中给出了解释，同时C. Mooney的将以上给的一个欺骗性的证明，就可以用O.Savin的迭代引理来证明。令人感到兴趣的是，E.M.Landis也曾给出了一个Harnck不等式的证明，在亚历山大. 格里高利的主页上有他写出来的讲义可以参考，很神奇，也是只用了那个非平凡的ABP极值原理。

 

第五章，首先使用Jensen的逼近（类似于弱解理论Sobolev空间中的磨光，我现在有点困惑，可能这种逼近方法并不是Jensen首次提出的，因为在非线性分析里面也有一个Yosida逼近，与此形式上一致。） 通过使用$\Gamma u$的性质（这里本质上是用到Jensen的一个关于半凸函数的一个接触集的正测度性质，或者说叫Jensen的Alexandrov型极值原理，见L.Silvestre的Viscosity Solution的Notes），证明了$u-v$是下解，然后再用粘性解的定义（Cor 3.7）证明，$u\leq v$ in $\Omega$（最好别用ABP了，这容易引起一些思维上的混乱）, 这样就证明了比较原理，进一步推出了唯一性。当然，如果你假定的是$u_1$, $u_2$ 是Dirichlet问题的两连续解，那么这时用ABP极值原得到$u_1\equiv u_2$。其实应该注意的是，一般情形的方程，需要用Ishii的Double variable的想法来证明比较原理，而这有些复杂。）这里需要说明一下，5.1解的主要定理对于放在USC,LSC的框架下，所有的结论完全正确，除了那个$u^\epsilon$的一致之外，如同L.Silvestre的Notes所定义的，这样$u^\epsilon$的收敛便是单调收敛，这里依然有$u^\epsilon$依然会是Lipschitz，进而semiconvex的。这里可以在[CC]的书的基础之上，做一点点的修改，证明$u-v\in USC(\bar{\Omega})$ 依然是下解, 需要一点点推理。或者另起炉灶用Ishii的方法来做，要用Ishii的那个Double variable Lemma。（即对于本章的比较原理完全可以写成上半连续，下半连续的情形，证明只需要做小小修改。见Ros-oton的book和Silvestre的Notes。）再者作为第四章的应用，证明了$C^{1,\alpha}$估计，从光滑的情形形式上来看，这是Harnack不等式、Holder估计的直接推论。最后，对$F$是凹的情形，证明了二阶均匀差分是subsolution，为第六章研究$C^{2,\alpha}$估计奠定了基础。本章中，我觉得还是应该从一般的上半连续、下半连续那样建立比较原理，然后建立粘性解的理论，最后再讨论barrier的存在决定是否达到边值，似乎也可以$F(D^2u)=0$搞一套Capacity的位势理论，但是在证明解的存在性上需要Barrier的存在，可能部分打破了想要的东西，或许可以先在单位求上做存在性，有比较原理，然后类似于Laplace来做，估计会需要一点$F$的凸性来保证解是$C^2$的。

 

第六章，对于凹的情形，先建立了$C^{1,1}$到$C^{2,\alpha}$估计，然后用逼近证明了粘性解的$C^{1,1}$估计。这里面包含了对粘性上调和解的理解，有点把所有的弱解理论串起来的意思。

 

第七章，实际是Caffarelli非常重要的工作，证明了$W^{2,\epsilon}$，$W^{2,p}$，$p>n$估计。这里面所蕴含的思想是及其深刻的，$W^{2,\epsilon}$估计，是对$S(f)$均成立的，而$W^{2,p}$估计的证明，则需要通过逼近定理来加速分布函数的衰减速度。此处定理的叙述形式实际体现了Caffarelli的基本想法，齐次凝固有估计，扰动一切皆稳定，即内部有$W^{2,\infty}$估计，扰动后可以有$W^{2,p}$估计。这是也他的最重要的工作之一，如前所述，充分利用了极大函数的性质。后来，他将想法推广至散度型方程，对$W^{1,p}$估计也得到了类似的结果，Lihe Wang将Caffarelli的想法进一步推广了。本章中的逼近定理可以说是非常重要的，后来Yanyan Li和Nirenberg证明了散度型方程的类似的逼近引理。（Lemma7.6的证明有笔误，参考Han-Lin做修正。）

 

第八章，是对古典$C^{2,\alpha}$， $C^{1,\alpha}$估计的推广，简化了位势论方法的计算，实际已经成为Schauder估计的标准方法，都是Pointwise型的估计（需要注意的是他这里的主要研究对象是Bellman方程，这就是为这个方程而设计的）。对于非散度型方程，Xujia Wang 给出了$C^2$解的Dini型估计，这里，借用Yanyan Li的想法，我也做了一个对粘性解的pointwise的Dini型估计，推广了一点前任的结果。  书中 注意$C^{1,\alpha}$估计的逼近引理用的是紧方法，关于$f$的条件有些奇怪，如果放在$L^n$粘性解的框架下来解释，可能更好。

 

 第九章, 对$F$光滑，凸的 $F(D^2u)=0$先建立先验估计，最后通过连续性方法，$C^{2,\alpha}$全局估计和逼近方法建立了粘性解$Dirichlet$问题的存在唯一性。这里也实际上给出了古典的$C^{2,\alpha}$估计的区别于第6章粘性解框架下的$C^{2,\alpha}$估计的证明，这可以说是利用古典的$C^{2,\alpha}$解的存在性，结合比较定理，而另外一套建立粘性解存在性的方法，与通常的Perron-Ishii-Lions方法有差别（Perron方法，从USC,LSC和比较原理来做。），但最后的结果是一致的。事实上，此时解在内部是$C^{2,\alpha}$的。当然，可以在非凸的情形证明连续粘性解的存在性，当然有了连续的粘性解以后，它自然符合Caffarelli的定义，那我们就可以做Regularity Theory，如第3，4，7，8中的一些结论。所以这就是我之前的意思，即正则性理论就是在连续粘性解存在的情形下来研究粘性解到底会有多么好的光滑性。