学习GT一书前九章的体会

学习Gilbarg和Trudinger一书前九章的体会

 

本书第二章，调和函数的基本性质进行展示。特别的对比较定理有深刻的阐述以及Perron方法的基本说明，并对Wiener准则作了简要说明。

 

第三章的前面部分是基本的最大值原理，这是椭圆方程的最重要的特点, 有Hopf Lemma, Narrow Domain 极值原理。

 

第四章和第六章主要是Schauder型估计的主要内容。特别，在解是二阶连续可微的情形，对boot strap的方法进行了论述。

 

第五章的主要内容是对全书需要的基本泛函分析知识进行了复习。

 

第七章是Sobolev空间的基本知识，特别的Sobolev用位势方法方法将G-N-S不等式进行了证明。在本章中一个值得重视的事情，对有界区域Trace为零的函数来证明嵌入定理。而一般的函数只要有区域满足延拓定理成立的要求，则相应的嵌入定理就成立了。基本上，本章的定理都对有界强Lipschitz区域都是成立，可能除了C^m的延拓定理需要区域更高的光滑性。

 

第八章主要对散度型方程的解的极值原理，最大值原理，L^2理论。特别的，De Giorgi-Nash-Moser定理的证明中用John-Nirenberg定理来Filling Holes，并证明了Holder连续性和Harnack不等式。（在Han和Lin的书中, 利用Holder估计证明了Campanoto型积分型Decay估计） 之后证明了边界Holder估计。最后对边界的正则性理论给出了Wiener准则。这个Wiener准则的证明，我总觉得GT本来是想再位势论的框架下来说，但有一些说的不是那么明显，实际也就是Trace这是事情，怎么去理解的问题，有一本上对散度型方程的wiener准则给了清晰的描述， W.P.Ziemer。 再则，在习题中推导连续模的问题，有些项确实是刚刚好的，计算的过程中可能要用Abel求和公式。

 

第九章主要对非散度型方程进行了研究。一个主要的工具是ABP极值原理，这也是Caffarelli粘性解正则性的理论出发点。而后用奇异积分C-Z理论证明了L^p估计。之后是Krylov-Safonov理论、Harnack不等式，边界Holder估计。他们给出了强解的存在性定理，证明方法与第6章相同。最后一个非常特别的Caffarelli简化证明的Krylov的边界C^{1,alpha}估计。

 

需要注意的$C^{1,\alpha}$估计在第四，六，八，九中都有相应的结果。