矩阵理论之仿射

概念：在几何学中，仿射变换指一个向量空间进行一次线性变换并加上一次平移变换，并成为另一个向量空间。注意，平移变换不属于线性变换。表达式如下：

其中，A即是我们的变换矩阵。

这里我们先暂不讨论平移变换分量，只讨论变换矩阵。具体来说，只讨论二维空间的变换矩阵。

在二维空间中，一般比较常见的线性变换，包括：旋转、缩放、切变、反射以及正投影。

1. 旋转：

绕原点逆时针旋转θ角的矩阵表示为：

2. 缩放：

这里的α和β分别是对x和y轴的缩放系数：

 

3. 切变(transvection):

切变其实就是倾斜，分两种：一种是平行于x轴，一种是平行于y轴：

平行x轴的矩阵表示为：

 

平行y轴的矩阵表示为：

4. 反射：

为沿着原点的直线反射向量，假设（α，β）为直线方向的单位向量，变换矩阵为：

注意不经过原点的反射。

5. 正投影：

将向量正投影到一条经过原点的直线，假设（α，β）是直线方向的单位向量，变换矩阵为：

注意不经过原点的变换。