BZOJ2278 [Poi2011]Garbage[欧拉回路求环]
首先研究环上性质，发现如果状态不变的边就不需要动了，每次改的环上边肯定都是起末状态不同的边且仅改一次，因为如果有一条边在多个环上，相当于没有改，无视这条边之后，这几个环显然可以并成一个大环。所以，我们只关注起末状态不同的边。
然后，这些边形成一张图。对于每个连通块，如果有解的话，应当是一堆边不相交的简单环通过点互相连接的。这样一张图等价于一个欧拉回路，所以只要判每个连通块是不是欧拉回路（偶数度）即可。
然后是求解，目标就是把每个连通块所有的简单环都拎出来。回顾上述欧拉回路判断，实际上正是因为若干简单环构成的图可以一笔画。。所以仿照一笔画过程（也就是栈中记录的访问点顺序），再开一个栈，不断压栈，当遇到一个先前已经压到栈的点的时候说明形成了一个简单环，一直弹栈直到先前点为止，这时弹出元素就构成了一个环。。这样所有环就出来了。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<queue> 7 #define mst(x) memset(x,0,sizeof x) 8 #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl 9 #define dbg2(x,y) cerr<< #x <<" = "<< x <<" "<< #y <<" = "<< y <<endl 10 using namespace std; 11 typedef long long ll; 12 typedef double db; 13 typedef pair<int,int> pii; 14 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;} 15 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;} 16 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;} 17 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;} 18 template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;} 19 template<typename T>inline T read(T&x){ 20 x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1; 21 while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x; 22 } 23 const int N=1e5+7,M=1e6+7; 24 struct thxorz{ 25 int head[N],to[M<<1],nxt[M<<1],tot; 26 thxorz(){tot=1;} 27 inline void add(int x,int y){ 28 to[++tot]=y,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot; 29 to[++tot]=x,nxt[tot]=head[y],head[y]=tot; 30 } 31 }G; 32 int deg[N],stk[M],vis[M<<1],bin[M],bcnt,top,st[N],tp,instk[N]; 33 int n,m,cnt; 34 #define y G.to[j] 35 void dfs(int x){//dbg(x); 36 for(register int&j=G.head[x];j;j=G.nxt[j])if(!vis[j])vis[j]=vis[j^1]=1,bin[++bcnt]=j,dfs(y); 37 stk[++top]=x; 38 } 39 #undef y 40 vector<int> ans[M]; 41 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.ans","w",stdout); 42 read(n),read(m); 43 for(register int i=1,x,y,z,w;i<=m;++i){ 44 read(x),read(y),read(z),read(w); 45 if(z^w)G.add(x,y),++deg[x],++deg[y]; 46 } 47 for(register int i=1;i<=n;++i)if(deg[i]&1){puts("NIE");return 0;} 48 for(register int i=1;i<=n;++i)if(G.head[i]){ 49 dfs(i);tp=0;//dbg(i); 50 while(bcnt)vis[bin[bcnt]]=vis[bin[bcnt]^1]=0,--bcnt; 51 while(top){ 52 int x=stk[top--];//dbg(x); 53 if(!instk[x])instk[x]=1,st[++tp]=x; 54 else{ 55 ans[++cnt].push_back(x); 56 do instk[st[tp]]=0,ans[cnt].push_back(st[tp--]);while(st[tp]^x); 57 ans[cnt].push_back(x); 58 } 59 } 60 } 61 printf("%d\n",cnt); 62 for(register int i=1;i<=cnt;++i,puts("")){ 63 printf("%d ",ans[i].size()-1); 64 for(register int j=0;j<ans[i].size();++j)printf("%d ",ans[i][j]); 65 } 66 return 0; 67 }
总结：这题启示我们在有关简单环的问题中，除了点双、边双等等转化策略以外，在涉及环的方面也可以采用欧拉路来考虑。总之，解决环相关的问题大概就是点双、边双、欧拉路以及栈的思想、dfs以及二分图染色等方法。
