BZOJ4777 [Usaco2017 Open]Switch Grass[最小生成树+权值线段树套平衡树]
标题解法是吓人的。
图上修改询问，不好用数据结构操作。尝试转化为树来维护。发现（不要问怎么发现的）最小生成树在这里比较行得通，因为最近异色点对一定是相邻的（很好想），所以只要看最短的一条两端连着异色点的边，而分析一下kruskal的过程，发现满足这种要求的最小边一定会被加进去（因为相邻异色点总要联通），所以不管颜色怎么修改，答案一定在最小生成树上。于是，问题转化为了一棵树。`````
修改一个点的颜色，不妨只关心他和他儿子之间的所有边。由于要查询和自己颜色不同的儿子的最小权值，与颜色有关，所以可以对于每个点，开一个动态开点的以颜色为权值的线段树维护最小边权，这样可以直接把儿子插进去，查颜色$[1,color_x)\cup(color_x,k]$的最小值，这样$color_x$变化也可以快速查询啦。但是，由于原来的颜色没有了，所以要把自己原来的颜色从父亲对应的树上删掉，为了保证其他相同颜色的权值不会被影响，所以线段树每个叶子要开一个平衡树（这里用了multiset），来维护相同颜色的各种权值，然后删除这个点就行了，然后再再把新的颜色插入到父亲里。对于每个点，到儿子的最小异色点距离如果是$f_x$，那么每次修改，父亲和自己的$f_x$会变动，求全局$f$只要在开一个multiset就好了。
空间问题：初始每个点会被父亲插入一次，插入multiset一次，总的被插入$n$个点，之后的每次修改，每次父亲插入新的颜色一次，插入新的multiset一次，空间量级$O((n+q)\log n+(n+q))$。
时间：$O((n+q)\log^2 n)$。
Note：细节注意。
Note：BZOJ跑的比较卡内存，所以把内存开小了一点才贴着上限过的。下面的code没改小。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<queue> 7 #include<set> 8 #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl 9 #define dbg2(x,y) cerr<< #x <<" = "<< x <<" "<< #y <<" = "<< y <<endl 10 using namespace std; 11 typedef long long ll; 12 typedef double db; 13 typedef pair<int,int> pii; 14 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;} 15 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;} 16 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;} 17 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;} 18 template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;} 19 template<typename T>inline T read(T&x){ 20 x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1; 21 while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x; 22 } 23 const int N=2e5+7,INF=0x3f3f3f3f; 24 struct tree_edge{int nxt,to,w;}G[N<<1]; 25 struct edge{ 26 int u,v,w; 27 inline bool operator <(const edge&A)const{return w<A.w;} 28 }e[N]; 29 int Head[N],tot; 30 int n,m,k,q; 31 inline void Addedge(int x,int y,int z){ 32 G[++tot].to=y,G[tot].nxt=Head[x],Head[x]=tot,G[tot].w=z; 33 G[++tot].to=x,G[tot].nxt=Head[y],Head[y]=tot,G[tot].w=z; 34 } 35 int anc[N]; 36 inline int get_anc(int x){return anc[x]==x?x:anc[x]=get_anc(anc[x]);} 37 inline void Kruskal(){ 38 sort(e+1,e+m+1); 39 for(register int i=1;i<=n;++i)anc[i]=i; 40 for(register int i=1;i<=m;++i)if(get_anc(e[i].u)^get_anc(e[i].v))anc[anc[e[i].u]]=anc[e[i].v],Addedge(e[i].u,e[i].v,e[i].w); 41 } 42 43 struct segment_tree{ 44 int lc[N*36],rc[N*36],minv[N*36],pos[N*36],cnt,mt; 45 multiset<int> s[N<<1]; 46 segment_tree(){memset(minv,0x3f,sizeof minv);} 47 inline void pushup(int i){minv[i]=_min(minv[lc[i]],minv[rc[i]]);} 48 void Insert(int&i,int L,int R,int c,int w){ 49 if(!i)i=++cnt; 50 if(L==R){ 51 if(!pos[i])pos[i]=++mt; 52 s[pos[i]].insert(w);minv[i]=*s[pos[i]].begin(); 53 return; 54 } 55 int mid=L+R>>1; 56 if(c<=mid)Insert(lc[i],L,mid,c,w); 57 else Insert(rc[i],mid+1,R,c,w); 58 pushup(i); 59 } 60 int Query_min(int i,int L,int R,int ql,int qr){ 61 if(ql<=L&&qr>=R)return minv[i]; 62 int mid=L+R>>1,ret=INF; 63 if(ql<=mid)MIN(ret,Query_min(lc[i],L,mid,ql,qr)); 64 if(qr>mid)MIN(ret,Query_min(rc[i],mid+1,R,ql,qr)); 65 return ret; 66 } 67 void Delete(int i,int L,int R,int c,int w){ 68 if(L==R){ 69 s[pos[i]].erase(s[pos[i]].find(w)); 70 minv[i]=s[pos[i]].empty()?INF:*s[pos[i]].begin(); 71 return; 72 } 73 int mid=L+R>>1; 74 if(c<=mid)Delete(lc[i],L,mid,c,w); 75 else Delete(rc[i],mid+1,R,c,w); 76 pushup(i); 77 } 78 }T; 79 80 int minv[N],fa[N],wt[N],val[N],rt[N]; 81 multiset<int> ans; 82 #define y G[j].to 83 void dfs(int x,int fat){ 84 fa[x]=fat; 85 for(register int j=Head[x];j;j=G[j].nxt)if(y^fat)dfs(y,x),T.Insert(rt[x],1,k,val[y],wt[y]=G[j].w); 86 if(rt[x])minv[x]=_min(val[x]>1?T.Query_min(rt[x],1,k,1,val[x]-1):INF,val[x]<k?T.Query_min(rt[x],1,k,val[x]+1,k):INF),ans.insert(minv[x]); 87 } 88 #undef y 89 inline void change_father(int x,int c){ 90 if(!fa[x])return; 91 T.Delete(rt[fa[x]],1,k,val[x],wt[x]);//dbg("delete ok"); 92 T.Insert(rt[fa[x]],1,k,c,wt[x]);//dbg("insert ok"); 93 ans.erase(ans.find(minv[fa[x]])); 94 ans.insert(minv[fa[x]]=_min(val[fa[x]]>1?T.Query_min(rt[fa[x]],1,k,1,val[fa[x]]-1):INF,val[fa[x]]<k?T.Query_min(rt[fa[x]],1,k,val[fa[x]]+1,k):INF)); 95 // dbg2("new father",minv[fa[x]]); 96 } 97 inline void change_self(int x,int c){ 98 if(!rt[x])return; 99 ans.erase(ans.find(minv[x])); 100 ans.insert(minv[x]=_min(val[x]>1?T.Query_min(rt[x],1,k,1,val[x]-1):INF,val[x]<k?T.Query_min(rt[x],1,k,val[x]+1,k):INF)); 101 // dbg2("new self",minv[x]); 102 } 103 inline void Query(){ 104 int x,c; 105 while(q--){ 106 read(x),read(c); 107 change_father(x,c); 108 val[x]=c; 109 change_self(x,c); 110 printf("%d\n",*ans.begin()); 111 } 112 } 113 inline void Init(){ 114 read(n),read(m),read(k),read(q); 115 for(register int i=1;i<=m;++i)read(e[i].u),read(e[i].v),read(e[i].w); 116 for(register int i=1;i<=n;++i)read(val[i]); 117 } 118 119 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.ans","w",stdout); 120 Init(); 121 Kruskal(); 122 dfs(1,0); 123 Query(); 124 return 0; 125 }
总结：图上的操作题如果觉得维护困难可以尝试转化成树上问题，这时不妨就看看MST可不可以。
