poj3728 The merchant[倍增]
给一棵点带权树，$q$次询问，问树上$x$到$y$路径上，两点权之差（后面的减去前面的）的最大值。
这个是在树链上找点，如果沿路径的最小值在最大值之前出现那肯定答案就是$maxx-minx$，但是反之就不好办了。。
方法一：在线倍增合并答案
先来看一个退化成链的情况：区间$ql,qr$内找$i<j$使$A_j-A_i$值最大怎么做。
这里尝试线段树解决。假设两个小区间合并答案的话，维护一个$dif_i$表示区间$i$上述答案。
那么合并区间答案时，要么答案出自左半区间，要么右半区间，要么跨中间，一个取左边的另一个取右边的，贪心可知取左半区间min和右半区间max。
这个其实就是一个对不同情况答案的分类讨论，看来我分类来取最佳答案的思想还不够啊，区间最大连续和不也是同一类型的么。
然后由启发，放到树上，于是一条树链就可以通过lca左边、lca右边、lca两边两条链的min和max来求得答案。
维护树链上信息可以有树剖等，但是这里发现使用倍增维护答案时，向上跳lca时的各小链的答案是具有合并性的，树剖的话就繁掉了。
于是倍增维护$upw[i][k],dow[i][k]$，表示从$i$向上跳$2^k$步的答案，以及从上面的$2^k$距离处跳下来的答案。
跳的时候每跳一段，为了和之前已经跳的一大段合并答案，取之前一大段的min和当前这一段的max作差比较更新，思路其实和线段树差不多。
因为我比较懒，所以没太想多少，写的常数比较大。
复杂度是$O(nlogn)$的。
【注意思路】分类讨论总结答案！根据维护信息的性质选择维护方法！
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl 7 using namespace std; 8 typedef long long ll; 9 typedef double db; 10 typedef pair<int,int> pii; 11 template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;} 12 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;} 13 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;} 14 template<typename T>inline T _max(T A,T B,T C){return _max(_max(A,B),C);} 15 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;} 16 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;} 17 template<typename T>inline T read(T&x){ 18 x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1; 19 while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x; 20 } 21 const int N=50000+7,INF=0x3f3f3f3f; 22 int n,q,qx,qy,_pow[N]; 23 //edge 24 int Head[N],A[N],tot; 25 struct thxorz{int to,nxt;}G[N<<1]; 26 inline void Addedge(int x,int y){ 27 G[++tot].to=y,G[tot].nxt=Head[x],Head[x]=tot; 28 G[++tot].to=x,G[tot].nxt=Head[y],Head[y]=tot; 29 } 30 //lca 31 int f[N][18],minv[N][18],maxv[N][18],upw[N][18],dow[N][18],depth[N]; 32 #define y G[j].to 33 void dfs(int x,int fa){ 34 f[x][0]=fa,minv[x][0]=maxv[x][0]=A[x],upw[x][0]=dow[x][0]=0; 35 for(register int i=1;i<=_pow[depth[x]];++i){ 36 f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1]; 37 minv[x][i]=_min(minv[x][i-1],minv[f[x][i-1]][i-1]); 38 maxv[x][i]=_max(maxv[x][i-1],maxv[f[x][i-1]][i-1]); 39 upw[x][i]=_max(upw[x][i-1],upw[f[x][i-1]][i-1],maxv[f[x][i-1]][i-1]-minv[x][i-1]); 40 dow[x][i]=_max(dow[x][i-1],dow[f[x][i-1]][i-1],maxv[x][i-1]-minv[f[x][i-1]][i-1]); 41 } 42 for(register int j=Head[x];j;j=G[j].nxt)if(y^fa)depth[y]=depth[x]+1,dfs(y,x); 43 } 44 #undef y 45 inline int LCA(int x,int y){ 46 if(depth[x]<depth[y])_swap(x,y); 47 for(register int i=_pow[depth[x]-depth[y]];~i;--i) 48 if(depth[f[x][i]]>=depth[y]) 49 x=f[x][i]; 50 if(x==y)return y; 51 for(register int i=_pow[depth[x]];~i;--i) 52 if(f[x][i]^f[y][i]) 53 x=f[x][i],y=f[y][i]; 54 return f[x][0]; 55 } 56 inline int Query(int x,int y){ 57 int lca=LCA(x,y),ans=0,minx=INF,maxx=0;//dbg(lca); 58 for(register int i=_pow[depth[x]-depth[lca]];~i;--i) 59 if(depth[f[x][i]]>=depth[lca]) 60 MAX(ans,upw[x][i]),MAX(ans,maxv[x][i]-minx),MIN(minx,minv[x][i]),x=f[x][i]; 61 MIN(minx,A[lca]); 62 for(register int i=_pow[depth[y]-depth[lca]];~i;--i) 63 if(depth[f[y][i]]>=depth[lca]) 64 MAX(ans,dow[y][i]),MAX(ans,maxx-minv[y][i]),MAX(maxx,maxv[y][i]),y=f[y][i]; 65 MAX(maxx,A[lca]); 66 return _max(ans,maxx-minx); 67 } 68 69 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout); 70 for(register int i=1;i<=5e4;++i)_pow[i]=__lg(i); 71 read(n);for(register int i=1;i<=n;++i)read(A[i]); 72 for(register int i=1;i<n;++i)read(qx),read(qy),Addedge(qx,qy); 73 depth[1]=1,dfs(1,0);read(q); 74 while(q--)read(qx),read(qy),printf("%d\n",Query(qx,qy)); 75 return 0; 76 }
方法二：tarjan+带权并查集离线处理询问(☆)
由于之前没学过tarjan离线LCA，于是把这个东西学了一下。STO tarjan ORZ。具体的学习地址放在了转载内容中了。还是很好理解的。
然后看这题，让我对tarjan算法有了进一步的认识，也就是基于并查集的改造维护一些信息。
首先基本思路还是一样的。是把答案拆成lca左边链的答案和右边链的答案加上跨过lca的答案取max，然后求点到lca链的信息（upw,dow,max,min）不再用倍增处理了。
采用lca自底向上逐步合并答案的方法。
由于信息的可合并性，考虑用离线LCA，同时并查集带权，维护上述信息，该点到此时的该点ancestor一条长链的信息就可以查询并查集并在回去时维护好即可。
注意到一个点作为LCA的时候，其询问的点对一定在子树中，等我把子树全dfs好了（dfs时把lca记下来，详见code），最后再处理以子树根为LCA的点对答案，将询问点对在并查集中路径压缩一下，合并信息。
然后就离线处理了答案。详见code。个人觉得还蛮清楚的。
复杂度$O(n+q \alpha (n))$，忽略反阿克曼函数，量级就是$O(n)$的。快了许多。
由于写这题的时候环境较吵，写了许多错误，调了半小时，也表明功底不扎实啊。
记录一下错误：
- line41：注意到并查集压缩路径时，ancestor是先变掉的，所以更新信息时要保存父亲，递归完更新。
- line46：打错minv，醉了。。
- line43~46：注意并查集合并、更新信息的顺序，不能先更新minv、maxv，不然会把新的minv、maxv覆盖在upw、dow上面。
- line55：注意得到正确的询问顺序以及询问序号，并且line56记得再维护一下点对信息再算答案。
- line59：别漏了vis。。。
总之这种做法还是很重要的。两点启示：1.维护lca链的相关可合并信息，可以用离线处理lca带权并查集维护。2.多个维护信息要注意更新顺序。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl 7 using namespace std; 8 typedef long long ll; 9 typedef double db; 10 typedef pair<int,int> pii; 11 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;} 12 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;} 13 template<typename T>inline T _max(T A,T B,T C){return _max(_max(A,B),C);} 14 template<typename T>inline T _min(T A,T B,T C){return _min(_min(A,B),C);} 15 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;} 16 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;} 17 template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;} 18 template<typename T>inline T read(T&x){ 19 x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1; 20 while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x; 21 } 22 const int N=5e4+7; 23 int n,m,ans[N]; 24 struct thxorz{int to,nxt;}G[N<<1],Q[N<<1],lca[N]; 25 int Head[N],Qhead[N],lhead[N],tot=1; 26 inline void Addedge(int x,int y){ 27 G[++tot].to=y,G[tot].nxt=Head[x],Head[x]=tot; 28 G[++tot].to=x,G[tot].nxt=Head[y],Head[y]=tot; 29 } 30 inline void AddQuery(int x,int y){ 31 Q[++tot].to=y,Q[tot].nxt=Qhead[x],Qhead[x]=tot; 32 Q[++tot].to=x,Q[tot].nxt=Qhead[y],Qhead[y]=tot; 33 } 34 inline void Addlca(int x,int y){ 35 lca[++tot].to=y,lca[tot].nxt=lhead[x],lhead[x]=tot; 36 } 37 38 struct disjoint_set{int maxv,minv,upw,dow,anc;}T[N]; 39 inline int Find_anc(int x){ 40 if(T[x].anc==x)return x; 41 int tmp=T[x].anc; 42 T[x].anc=Find_anc(T[x].anc); 43 T[x].upw=_max(T[x].upw,T[tmp].upw,T[tmp].maxv-T[x].minv); 44 T[x].dow=_max(T[x].dow,T[tmp].dow,T[x].maxv-T[tmp].minv); 45 T[x].maxv=_max(T[x].maxv,T[tmp].maxv); 46 T[x].minv=_min(T[x].minv,T[tmp].minv);//attetion:the order. 47 return T[x].anc; 48 } 49 #define y G[j].to 50 int vis[N]; 51 void tarjan(int x,int fa){ 52 for(register int j=Head[x];j;j=G[j].nxt)if(y^fa)tarjan(y,x),T[y].anc=x; 53 for(register int j=Qhead[x];j;j=Q[j].nxt)if(vis[Q[j].to])Addlca(Find_anc(Q[j].to),j>>1); 54 for(register int j=lhead[x];j;j=lca[j].nxt){ 55 int a=Q[(lca[j].to<<1)^1].to,b=Q[lca[j].to<<1].to; 56 Find_anc(a),Find_anc(b); 57 ans[lca[j].to]=_max(T[a].upw,T[b].dow,T[b].maxv-T[a].minv); 58 } 59 vis[x]=1; 60 } 61 #undef y 62 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout); 63 read(n); 64 for(register int i=1,x;i<=n;++i)read(x),T[i].anc=i,T[i].minv=T[i].maxv=x,T[i].dow=T[i].upw=0; 65 for(register int i=1,x,y;i<n;++i)read(x),read(y),Addedge(x,y); 66 read(m);tot=1; 67 for(register int i=1,x,y;i<=m;++i)read(x),read(y),AddQuery(x,y); 68 tot=1;tarjan(1,0); 69 for(register int i=1;i<=m;++i)printf("%d\n",ans[i]); 70 return 0; 71 }
