BZOJ1079 [SCOI2008]着色方案[组合计数DP]

$有a_{1}个1,a_{2}个2,...,a_{n}个n(n<=15,a_{n}<=5),求排成一列相邻位不相同的方案数。$

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关于这题的教训记录：

• 学会对于复杂的影响分开计，善于发现整体变化，用整体法（没错就是和物理那种差不多）。
• 推dp方程时怕边界问题不好处理时可以采用向前推的方法，就如$f[x]=f[i]+...$，可以（部分）避免越界。

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我好菜啊。。除了个dp状态设计对了其他什么都没写上来qwq。基于每次插入时数字的数量都不固定，所以我可以设法将其固定下来。按顺序依次插入1,2,3,...,n即可。因为我是要统计相同不相邻方案，转移的时候肯定是插空啊，所以再设计一维表示有多少个相邻相同的($f[i][j]$)，这样就好做了。然而我在这里卡主了。。因为我看数据每个数字最多5个嘛，分类大力讨论一下的事情。然而讨论到3的时候我已经崩溃掉了。觉得写法有问题，但是又不知道怎么简化。

磕了几小时没出来QwQ，翻了题解%%%，发现还是思路狭窄了啊。每个数k个，因为要往空挡里面插，不算几张合在一起的话，分开的情况是很容易想的。而我有连续数字插入的时候，可以枚举其分组。分k组的时候，这些牌单独来看是会产生出新的$n-k$个连续位的。再看我插入时，把连续数字当做整体（就是看成一个数字），插入之前的连续位空挡相当于把他填起来了，否则无影响。所以枚举插到数字$i$,枚举之前有$j$空位连续数字，当下分为$k$组，插到之前$j$个空位里的有$l$个，之前方案$f[i][j]$，$j$个空位中选出来$l$个是$C_{j}^{l}$，剩下的非连续数字的空位还要再选$C_{sum[i-1]+1-j}^{k-l}$个，这些空位里去填$k$组，问题转为一排数字划为k组的不同方案，是经典隔板问题，有$C_{a[i]-1}^{k-1}$种。所以dp方程就出来啦。见code。可以感性认识这是不重不漏的。（？？！）

可能我组合计数还是太差了啊。几星期后到数学专题去好好补一发算了。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define dbg(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
#define dddbg(x,y,z) cerr<<#x<<" = "<<x<<"   "<<#y<<" = "<<y<<"   "<<#z<<" = "<<z<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
const ll P=1e9+7;
int f[101][101],fac[6],C[101][101];
int T,n,s[101],sum[101];
inline void inc(int&A,int B){A+=B;A>=P?A-=P:0;}
inline void preprocess(){
    C[0][0]=1;
    for(register int i=1;i<=76;++i){C[i][0]=1;for(register int j=1;j<=52;++j)C[i][j]=(0ll+C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%P;}
}

int main(){//freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);
    preprocess();read(n);
    for(register int i=1;i<=n;++i)read(s[i]);
    f[1][s[1]-1]=1;
    for(register int i=1;i<=n;++i)sum[i]=s[i]+sum[i-1];
    for(register int i=2;i<=n;++i)
        for(register int j=0;j<=sum[i-1]-i+1;++j)
            for(register int k=1;k<=s[i];++k)
                for(register int l=0;l<=_min(j,k);++l)
                    inc(f[i][j+s[i]-k-l],f[i-1][j]*1ll*C[j][l]%P*C[sum[i-1]+1-j][k-l]%P*C[s[i]-1][k-1]%P);
    printf("%d\n",f[n][0]);
    return 0;
}

hihocoder扑克牌：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define dbg(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
#define dddbg(x,y,z) cerr<<#x<<" = "<<x<<"   "<<#y<<" = "<<y<<"   "<<#z<<" = "<<z<<endl
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
const int N=14;
ull f[N][53],fac[5],C[54][54];
int T,n,cnt[N],s[N],sum[N];
char ch[4];

int main(){//freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);
    read(T);fac[1]=1,fac[2]=2,fac[3]=6,fac[4]=24;C[0][0]=1;
    for(register int i=1;i<=52;++i){
        C[i][0]=1;
        for(register int j=1;j<=52;++j)C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
    }
    for(register int o=1;o<=T;++o){
        read(n);memset(cnt,0,sizeof cnt);
        for(register int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%s",ch+1);int x=ch[1]&15;
            if(ch[1]=='A')x=1;else if(ch[1]=='T')x=10;else if(ch[1]=='J')x=11;else if(ch[1]=='Q')x=12;else if(ch[1]=='K')x=13;
            ++cnt[x];
        }n=0;
        for(register int i=1;i<=13;++i)if(cnt[i])s[++n]=cnt[i],sum[n]=s[n]+sum[n-1];
        memset(f,0,sizeof f);f[1][s[1]-1]=1;
        for(register int i=2;i<=n;++i)
            for(register int j=0;j<=sum[i-1]-i+1;++j)
                for(register int k=1;k<=s[i];++k)
                    for(register int l=0;l<=_min(j,k);++l)
                        f[i][j+s[i]-k-l]+=f[i-1][j]*C[j][l]*C[sum[i-1]+1-j][k-l]*C[s[i]-1][k-1];
        for(register int i=1;i<=n;++i)f[n][0]*=fac[s[i]];
        printf("Case #%d: %llu\n",o,f[n][0]);
    }
    return 0;
}