Min-Max 容斥
\[made \ by \ Ameiyo
\]
前言
这个东西给我的感觉有点类似 绝对值恒等式 。
\[max\{a, b\} = \frac {|a + b| + |a - b|} {2}, min\{a, b\} = \frac {|a + b| - |a - b|} {2} \]
为什么这么说呢？因为二者都是让不该做贡献的数的系数和为 $ 0 $ ，当然 Min-Max 荣斥 并没有绝对值。
前置知识
先给出式子，这里用到一个东西叫 二项式反演 ，也不是很难的东西。
\[f(n) = \sum C_n^i g(i) \Leftrightarrow g(n) = \sum (-1) ^ {n - i} C_n^i f(i) \]
Min-Max 容斥
然后，以下用 Min(S) 表示集合 $ S $ 中最小的数， Max(S) 同理。
则有
\[Max(S) = \sum _{\varnothing \neq T \subseteq S} (-1) ^ {|T| - 1} Min(T)
\]
把 Min 和 Max 交换也同样满足。
证明
这其实是一个可以用容斥讲明的问题，这里从代数方面证明。
假设容斥系数为 $ d(x) $ 。
考虑某个第 $ k $ 大的数，当其做贡献时，比他小的数肯定不能出现在集合中，假设其选择了 $ i $ 个比他大的数。
那么他的系数和 $$ w_k = \sum {i=0} ^{n-k} C^i d(i + 1) $$ 。
而当 $ n = k $ 时， $ w_k = 1 $ ；否则， $ w_k = 0 $ 。即 $$ [n - k == 0] = \sum {i = 0} ^{n - k} C ^i d(i + 1) $$ 。
把上式二项式反演一下( $ f(n - k) = [n - k == 0] $ , $ g(i) = d(i + 1) $ ) ，就得到
\[d(n - k + 1) = \sum _{i = 0} ^{n-k} (-1) ^{n - k - i} C_{n - k}^{i} [i == 0] = (-1) ^ {n - k}
\]
所以 $ d(i) = (-1) ^{i - 1} $ 。
证毕。
推广
似乎是根据期望的线性性质，所以 Min-Max 容斥 在期望条件下也成立，即
\[Emax(S) = \sum (-1) ^{|T| - 1} Emin(T)
\]
交换后同理。
\[in \ 2019.12.8
\]
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