主定理
定理
假设我们有递推关系式\(\begin{aligned}T(n)=aT\left(\frac n b\right)+f(n)\end{aligned}\)其中\(n\)为问题规模，\(a\)为递推的子问题数量，\(\frac n b\)为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样），\(f(n)\)为递推以外进行的计算工作。
关于符号问题
时间复杂度常见的符号就三个
\(\Theta\)读作\(theta\)，音标为/'θi:tə/，表示紧贴，贴合等于的意思
\(O\)英语读音貌似是\(omicron\)，音标为/oumaik'rən/，表示的是最坏的时间复杂度，上界线，小于等于
\(\Omega\)读作\(omega\)，音标为/'oumigə/，表示最低时间复杂度，下界线
其实也不进行很明显的区分，毕竟分析的时候都是考虑的最坏情况
Type 1
若存在常数\(\epsilon>0\)使得\(\begin{aligned}f(n)=O(n^{\log_b(a)-\epsilon})\end{aligned}\)，则\(T(n)=\Theta(n^{log_ba})\)
举个栗子\(T(n)=2T(\frac n 2)+O(1)，则T(n)=O(n)\)
具体模型：二叉树遍历，其中\(a=2,b=2,\epsilon=1,f(n)=1,T(n)=O(n)\)
\(T(n)=4T(\frac n 2)+O(n)，则T(n)=O(n^2)\)
Type 2
若存在常数\(k\ge0\)\(，使得\)\(f(n)=\Theta (n^{\log _{b}a}\log ^{k}n)\)，则有\(T(n)=\Theta(n^{log_ba}\log^{k+1}n)\)
举个栗子\(T(n)=T(\frac n 2)+O(1)，则T(n)=O(logn)\)
具体模型：二分，折半，其中\(a=1,b=2,f(n)=1,k=0,T(n)=O(logn)\)
\(T(n)=T(\frac n 2)+O(logn)，则T(n)=O(log2n)\)
\(T(n)=2T(\frac n 2)+O(n)，则T(n)=O(nlogn)\)
具体模型：归并排序，考虑的是将序列分成两半进行处理，然后\(O(n)\)进行合并，其中\(a=2,b=2,f(n)=n,k=0,T(n)=O(nlogn)\)
\(T(n)=2T(\frac n 2)+O(nlogn)，则T(n)=O(nlog2n)\)
Type 3
若存在常数\(\epsilon>0\)，使得\(f(n)=\Omega (n^{\log _{b}(a)+\epsilon })\)同时存在常数\(c<1\)以及充分大的\(n\)满足\(af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)\)，那么\((T\left(n\right)=\Theta \left(f\left(n\right)\right)\)
举个栗子\(T(n)=T(\frac n 2)+O(n)，则T(n)=O(n)\)
\(T(n)=2T(\frac n 2)+O(n^2)，则T(n)=O(n^2)\)
主定理无法处理的
举个栗子
\(T(n)=2T(\frac n 2)+O(logn)，则T(n)=O(n)\)
\(T(n)=T(k)+T(n-k)+O(min(k,n-k))，则T(n)=O(nlogn)\)
具体模型：快排
例题
\(Non-boring sequences\)
一个序列被称为是不无聊的，仅当它的每个连续子序列存在一个独一无二的数字，即每个子序列里至少存在一个数字只出现一次。给定一个整数序列，请你判断它是不是不无聊的。
考虑一段区间：
如果这个区间中存在某个数，使得它在整段区间中出现次数为1，那么对于所有包含该数的子区间，该数都出现且仅出现1次。所以只需要分治处理这个数左右两端的子区间即可；
如果这个区间中不存在这样的数，那么它就是不合法的。
于是只需要想办法求出区间中只出现过一次的数即可。一个数在区间中只出现过1次，当且仅当它上一次出现的位置在区间左端，下一次出现的位置在区间右端。所以预处理左右出现的位置即可判断。
由于这个数不是恰好出现在区间中间的，所以找一次的时间复杂度应该设计为\(O(较小的一段子区间的长度)\)。
具体方法：从左右两端向中间扫，扫到了就停止。这样找一次的复杂度一定是2倍较短区间长度。时间复杂度\(O(nlogn)\)
也就是\(T(n)=T(k)+T(n-k)+O(min(k,n-k))，则T(n)=O(nlogn)\)
【NOIP初赛2017】若某算法的计算时间表示为递推关系式：\(\begin{aligned}T(N)=2T\left(\frac N 2\right)+N\log N\end{aligned}\)，\(T(1)=1\)，则复杂度为
\(\rm A .O(N)\ B .O(N\log_2N)\ C.O(N\log_2^2N)\ D.O(N^2)\)
就是\(Type2\)中\(k=1\)即可
