『笔记』矩阵入门

$\mathrm{矩}\mathrm{阵}$ $\mathcal{Matrix}$

定义#

一个按照长方阵列排列的复数或实数集合（来自百度百科）
没明白对吧？很正常
人话一点的解释就是一堆数按矩形排列形成的集合
显然，我们需要记录的就是他的长，宽，元素
特殊的

• 长宽相等的矩阵称为方阵
• 两个矩阵的长宽相等时，我们认为这两个矩阵为同型矩形
• 左上角到右下角的对角线上元素皆为1，其他皆为0的矩阵称为单位矩阵

基本运算#

矩阵加法#

• 前提：两个矩阵为同型矩阵
  运算法则：只需要将对应位置相加即可

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 4& 2\\ 5& 6& 3\end{array}\right];B=\left[\begin{array}{ccc}5& 7& 1\\ 2& 2& 2\\ 4& 1& 5\end{array}\right];A+B=\left[\begin{array}{ccc}1+5& 1+7& 1+1\\ 2+2& 4+2& 2+2\\ 4+5& 1+6& 3+5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6& 8& 2\\ 4& 6& 4\\ 9& 7& 8\end{array}\right]$

矩阵加法满足交换律和结合律，即：$$A+B=B+A$$ $$(A+B)+C=A+(B+C)$$

矩阵减法#

即加法的逆运算，看完加法后，相信大家肯定都会

数乘#

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\\ 4& 5\end{array}\right],2\times A=\left[\begin{array}{cc}2\times 0& 2\times 1\\ 2\times 2& 2\times 3\\ 2\times 4& 2\times 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 4& 6\\ 8& 10\end{array}\right]$

矩阵乘法#

• 前提：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数

$$(N\times M)\times (M\times K)=N\times K$$

$\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ll}3& 1\\ 2& 4\\ 2& 1\end{array}\right]\\ AB=\left[\begin{array}{ll}1\times 3+2\times 2+1\times 2& 1\times 1+2\times 4+1\times 1\\ 0\times 3+1\times 2+1\times 2& 0\times 1+1\times 4+1\times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}9& 10\\ 4& 5\end{array}\right]\end{array}$

矩阵乘法满足一下几种运算律：$$A(BC)=(AB)C$$ $$A(B+C)=AB+AC$$ $$(B+C)A=BA+CA$$

注意，矩阵乘法不满足交换律，即$$A\times B\ne B\times A$$
一道例题

P3390 矩阵快速幂#

未完待续。。。