[网络流24题]方格取数问题
在一个有$m\times n$个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意$2$个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。
题目名称：方格取数问题
来源：网络流24题
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题目内容
题目描述
在一个有\(m\times n\)个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意\(2\)个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。
格式
输入
第\(1\)行有\(2\)个正整数\(m\)和\(n\)，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的\(m\)行，每行有\(n\)个正整数，表示棋盘方格中的数。
输出
程序运行结束时，将取数的最大总和输出。
数据
样例
输入
3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1
输出
11
数据范围
\(m,n<=100\)
提示
注意试题来源！
题解
这道题要我们求的是从方格中取得的数最大的和。
不难发现，直接求不太好求。
因为我们取这个格子里的数的条件，不是取了某个格子里的数，而是未取某些格子里的数。如果我们直接用最大流来写的话，不太好连边。
著名的数学家（神犇）Isaac Newton（虽然说是数学家，但是无意间把OIer往死里坑）曾经说过“正难则反”。
那么我换一下思路，我可以将取得的最大和变为总和-最小代价，这里的代价是指，如果不取某些格子上的数，可以使取的方案合法，这样的格子上的数的总和。
我们将格子进行黑白染色，保证相邻颜色不同，并按顺序给每个格子标上编号，拿样例说话。
| [1]1 | [2]2 | [3]3 |
|---|---|---|
| [4]3 | [5]2 | [6]3 |
| [7]2 | [8]3 | [9]1 |
开始考虑建图：（注意：这里连边都是在格子的编号之间连边）
- 将源点向所有染黑色格子连边。容量为其权值。
- 将所有染黑色格子向汇点连边。容量为其权值。
- 将所有互相冲突的格子（上下左右四个格子）连边，方向为从黑格子向白格子，容量为\(\infty\)。
又拿样例说话
graph TD
s(s)-->|1|1
s(s)-->|3|3
s(s)-->|2|5
s(s)-->|2|7
s(s)-->|1|9
2-->|1|t(t)
4-->|1|t(t)
6-->|1|t(t)
8-->|1|t(t)
1-->|inf|2
1-->|inf|4
3-->|inf|2
3-->|inf|6
5-->|inf|2
5-->|inf|4
5-->|inf|6
5-->|inf|8
7-->|inf|4
7-->|inf|8
9-->|inf|6
9-->|inf|8
不难发现，互相冲突的两个格子必须有一个不被选，在图上就表现为至少有一个到源点或汇点的边要割掉。（因为不可能割中间容量为\(\infty\)的边）
所以答案就是所有格子上数的总和减去最小割。
跑一遍Dinic就可以了。
//C++
#include<bits/locale_facets.h>
#include<bitset>
#include<limits.h>
#include<memory.h>
#include<stdio.h>
#include<queue>
#define downt(i,n) for(int i=n;i;i=back[i])
#define forto(name,i,d,u) for(name i=d;i<=u;i++)
#define foruntil(name,i,d,u) for(name i=d;i<u;i++)
const short nm=101;
inline void output(long long o);
inline long long input();
short number[nm][nm];
std::bitset<nm>BW[nm];
template<int nn,int mm,typename name>struct network{
#define nnn (nn+3)
#define mmmm (mm<<2)+2
int s,t,tot,nnnn,last[nnn],level[nnn],to[mmmm],arc[mmmm],back[mmmm];
name c[mmmm];
std::queue<int>q;
network(){nnnn=nnn<<2,INIT();}
#undef nnn
#undef mmmm
void INIT(){tot=1,memset(last,0,nnnn);}
void add(int f,int t,name cap){to[++tot]=t,c[tot]=cap,back[tot]=last[f],last[f]=tot;}
void insert(int f,int t,name cap){
if(cap){
if(cap<0)std::swap(f,t),cap=-cap;
add(f,t,cap),add(t,f,0);
}
}bool climb(){
memset(level,0,nnnn),q.push(s),level[s]=0;
for(int p,too;!q.empty();q.pop()){
p=q.front(),level[p]++;
downt(i,last[p])
if(c[i]&&!level[too=to[i]])level[too]=level[p],q.push(too);
}return level[t];
}name augment(int p,name m){
if(p==t)return m;
name sum=0,flow;
int d=level[p]+1;
for(;arc[p];arc[p]=back[arc[p]])
if(level[to[arc[p]]]==d&&c[arc[p]]){
sum+=(flow=augment(to[arc[p]],std::min(c[arc[p]],(name)(m-sum)))),c[arc[p]]-=flow,c[arc[p]^1]+=flow;
if(sum==m)return m;
}return sum;
}name Dinic(name inf){
name maximum=0;
while(climb()){
foruntil(int,i,s,t)arc[i]=last[i];
maximum+=augment(s,inf);
}return maximum;
}
};network<10000,50000,int>check;
int main(){
short m=input(),n=input(),e;
int sum=0,inf=0x3f3f3f;
check.s=0,check.t=m*n+1,BW[1][1]=true,number[1][1]=1;
forto(short,i,2,m)BW[i][1]=!BW[i-1][1],number[i][1]=(i-1)*n+1;
forto(short,i,1,m)
forto(short,j,2,n)BW[i][j]=!BW[i][j-1],number[i][j]=(i-1)*n+j;
forto(short,i,1,m)
forto(short,j,1,n){
sum+=(e=input());
if(BW[i][j]){
check.insert(0,number[i][j],e);
if(i>1)check.insert(number[i][j],number[i-1][j],inf);
if(j>1)check.insert(number[i][j],number[i][j-1],inf);
if(i<m)check.insert(number[i][j],number[i+1][j],inf);
if(j<n)check.insert(number[i][j],number[i][j+1],inf);
}else check.insert(number[i][j],check.t,e);
}output(sum-check.Dinic(INT_MAX));
return 0;
}inline void output(long long o){
if(o<0)putchar('-'),o=-o;
if(o>=10)output(o/10);
putchar(o%10^'0');
}inline long long input(){
bool minus=false;
char now=getchar();
long long i=0;
for(;!isdigit(now);now=getchar())
if(now=='-')minus=!minus;
for(;isdigit(now);now=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+(now^'0');
return minus?-i:i;
}
