21.06.06 训练赛

B Reverse Game

题意

​ 一个博弈游戏，开始给定一个长度为n的01字符串，每次操作可以选择如下形式中的子串：10,110,100,1010。选定后将其翻转，即为一次操作。双方轮流操作，某方不能操作即失败。Alice先手，对于给定的字符串，谁胜？\(1 \leqslant n \leqslant 10^6\)。

题解

签到。
首先显然，最终局面一定是如00000...11111...的形式。如果我们把相邻两个数交换记为一次操作，那么题意所说的操作可以分解为一或两次操作，如10变为01为1次操作，100变为001为2两次操作。设\(sum\)={变成最终局面需要执行的操作次数}，那么每次操作要么让\(sum-1\),要么让\(sum-2\)。同时我们可以发现，在\(sum \geqslant 3\)的时候，先手如果让\(sum-1\),后手必然能够让\(sum-2\)。反之亦然。这就是经典博弈问题之一了。\(Ans=(sum\:mod\:3==0?Bob: Alice)\)。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6;
char S[maxn+8];
 
int main()
{
	  scanf("%s",S+1);
	  int tmp=0,cnt=0,len=strlen(S+1);
	  for (int i=1;i<=len;i++)
		    {
			      if (S[i]=='1') tmp++;
			      else cnt=(cnt+tmp)%3;
		    }
	  cnt?puts("Alice"):puts("Bob");
	  return 0;
}

E Divisible by 3

题意

给你一个序列\([a_i]\)，问有多少子序列\([l,r]\)满足\(weight_{l,r}=\sum_{l \leqslant i\leqslant j\leqslant r}a_i \times a_j \equiv 0\pmod3\)。序列长在\([1,5\times 10^5]\)范围内。

题解

签到。

定义\(f_{i,j,k}\)为有多少个以i为结尾的子序列，满足\(weight=j\ mod\ 3\),且序列和为\(k\)那么转移就很简单了。具体看代码。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=5e5;
int n;
ll f[maxn+8][3][3];
int a[maxn+8];

int read()
{
	  int x=0,f=1;char ch=getchar();
	  for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
	  for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	  return x*f;
}

int main()
{
	  n=read();
	  for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read()%3;
	  for (int i=1;i<=n;i++)
		    {
			      for (int j=0;j<3;j++)
						for (int k=0;k<3;k++)
						  f[i][(j+k*a[i])%3][(k+a[i])%3]+=f[i-1][j][k];
			      f[i][0][a[i]]++;
		    }
	  ll ans=0;
	  for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=0;j<3;j++) ans+=f[i][0][j];
	  printf("%lld\n",ans);
	  return 0;
}

M Mistake

题意

给定n个点m条边的有向无环图，给一个n*k的序列，保证每个\(1 \leqslant i \leqslant n\)都在序列中出现k次。将这个序列划分为k个序列（划分后序列中的数相对顺序不变），满足每个序列都是这张有向无环图的合法拓扑序。保证存在合法构造。\(1 \leqslant nk\leqslant 5 \times 10^5\)

题解

看起来很难实际很sb的一题。

首先为了满足拓扑序，其实就是对于序列给出了一些诸如x必须在y之前出现的限制。那么我们考虑这样构造：对于某一个位置上的数x，它属于的编组序号就是数x到这个位置出现的次数。我们利用反证法证明正确性：如果存在两个数x,y和他们第i次出现的位置\(pos_{x,i}、pos_{y,i}\)，如果x必须出现在y之前而\(pos_{x,i}>pos_{y,i}\)，那么可知将\(pos_{x,i}\)也不能和\(pos_{y,i}\)之前的y放在同一编组，同时如果跟\(pos_{y,i}\)之后的某一个\(pos_{y,j}\)放在同一编组，那么\(pos_{y,i}\)又会和\(pos_{x,j}\)冲突（因为\(i<j\)，由构造方法可知\(pos_{x,j} > pos_{x,i} > pos_{y,i}\)）。所以存在合法的构造当且仅当这种构造方法合法。

代码实现就简单了（所以和图有什么关系）。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e5;
int id[maxn+8];
int n,k,m;

int read()
{
	  int x=0,f=1;char ch=getchar();
	  for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
	  for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	  return x*f;
}

int main()
{
	  n=read(),k=read(),m=read();
	  for (int i=1;i<=m;i++) {read(),read();}
	  for (int i=1;i<=n*k;i++)
		    {
			      int x=read();
			      printf("%d ",++id[x]);
		    }
	  return 0;
}