Bzoj_5287 [Hnoi2018]毒瘤
题意
给你一个图，求这个图的独立点集（集合内点互不相邻）个数。
\(n \leqslant 10^5,n-1 \leqslant m \leqslant n+10\)
题解
对于m=n-1的情况，直接上Tree_Dp即可，\(f_{u,1}=\prod (f_{v,0}+f_{v,1}),f_{u,0}=\prod f_{v,1}\)。
然后我们发现m-n是个很小的数字，我们考虑可以先建出一个生成树，再考虑那么非树边。
非树边最多11条，我们可以直接枚举非树边两端点选或不选（实际上可以只枚举一端）。然后在树上直接Dp，复杂度\(O（2^{m-n+1}n)\)。然后你就有75分了。
尝试对这个算法进行优化。我们发现每次Dp都有很多重复的步骤（比如完全没有建在虚树里的子树），我们可以提前预处理。但是在虚树边上的点我们还是得一个一个枚举。但是我们又发现，对于每一个虚树边<u,v>，\(f_{v,1}\)对\(f_{u,0}\)的贡献只需要乘上一个固定的系数。具体来说，对于某个虚树边<u,v>,我们设\(f_{v,1}=x\)，那么点v在原树上暴力向上跳，并将周围的子树的贡献也乘进去，最终对\(f_{u,0}\)的贡献一定是乘上\(k_{<u,v>,0,1} \cdot x\)。所以我们对于每一个虚树边<u,v>以及u,v选或不选的每一种状态都预处理里出这个系数，然后枚举状态并在虚树上Dp，这样复杂度便是\(O(n+s \times 2^s)\)(s为非树边两端点的点集大小)。
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e5;
const int mod=998244353;
int n,m,tot,cnt,Time,k;
int a[maxn+8],b[maxn+8],fa[maxn+8];
int pre[maxn*2+8],now[maxn+8],son[maxn*2+8];
int jump[maxn*2+8][28],dfn[maxn+8],dep[maxn+8];
int tmp[2],g[maxn+8][2],res[maxn+8][2],val[maxn*2+8][2][2];
int st[maxn+8];
int f[maxn+8][2];
bool vis[maxn+8];
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
return x*f;
}
struct Disjoint_Set_Union
{
int fa[maxn+8];
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
}DSU;
void add(int u,int v)
{
pre[++tot]=now[u];
now[u]=tot;
son[tot]=v;
}
void dfs(int x)
{
jump[dfn[x]=++Time][0]=x;
dep[x]=dep[fa[x]]+1;
for (int p=now[x];p;p=pre[p])
{
int child=son[p];
if (child==fa[x]) continue;
fa[child]=x;
dfs(child);
jump[++Time][0]=x;
}
}
int RMQ(int x,int y){return dep[x]<dep[y]?x:y;}
void Build_St()
{
for (int j=1;j<=log(Time)/log(2);j++)
for (int i=1;i<=Time-(1<<j)+1;i++)
jump[i][j]=RMQ(jump[i][j-1],jump[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
bool cmp(int x,int y){return dfn[x]<dfn[y];}
int Get_Lca(int x,int y)
{
if (dfn[x]>dfn[y]) swap(x,y);
int len=dfn[y]-dfn[x]+1,t=log(len)/log(2);
return RMQ(jump[dfn[x]][t],jump[dfn[y]-(1<<t)+1][t]);
}
void Make_F(int x,int fa)
{
f[x][0]=1,f[x][1]=1;
for (int p=now[x];p;p=pre[p])
{
int child=son[p];
if (child==fa) continue;
Make_F(child,x);
f[x][1]=1ll*f[x][1]*f[child][0]%mod;
f[x][0]=1ll*(f[child][1]+f[child][0])%mod*f[x][0]%mod;
}
}
int update(int x,int y,int i,int j)
{
tmp[i^1]=0,tmp[i]=1;
while(x!=y)
{
vis[x]=1;
for (int p=now[x];p;p=pre[p])
{
int child=son[p];
if (vis[child]||child==fa[x]) continue;
tmp[0]=1ll*(f[child][0]+f[child][1])%mod*tmp[0]%mod;
tmp[1]=1ll*tmp[1]*f[child][0]%mod;
}
swap(tmp[0],tmp[1]);
tmp[0]=(tmp[0]+tmp[1])%mod;
x=fa[x];
}
return tmp[j];
}
void Get_Res(int x)
{
res[x][0]=1,res[x][1]=1;
for (int p=now[x];p;p=pre[p])
{
int child=son[p];
if (vis[child]||child==fa[x]) continue;
vis[child]=1;
res[x][0]=1ll*(f[child][0]+f[child][1])%mod*res[x][0]%mod;
res[x][1]=1ll*res[x][1]*f[child][0]%mod;
}
}
struct Virtual_Tree
{
int tot;
int color[maxn+8];
int pre[maxn*2+8],now[maxn+8],son[maxn*2+8];
void add(int u,int v)
{
pre[++tot]=now[u];
now[u]=tot;
son[tot]=v;
}
void insert(int u,int v){add(u,v),add(v,u);}
void Make_Val(int x,int fa)
{
for (int p=now[x];p;p=pre[p])
{
int child=son[p];
if (child==fa) continue;
Make_Val(child,x);
for (int i=0;i<2;i++)
for (int j=0;j<2;j++)
val[p][i][j]=update(child,x,i,j);
}
Get_Res(x);
}
void calc(int x,int fa)
{
if (color[x]==-1) g[x][0]=res[x][0],g[x][1]=res[x][1];
else g[x][color[x]]=res[x][color[x]],g[x][color[x]^1]=0;
for (int p=now[x];p;p=pre[p])
{
int child=son[p];
if (child==fa) continue;
calc(child,x);
for (int i=0;i<2;i++)
g[x][i]=1ll*(1ll*g[child][0]*val[p][0][i]%mod+1ll*g[child][1]*val[p][1][i]%mod)*g[x][i]%mod;
}
}
void solve()
{
int ans=0;
Make_Val(n,0);
memset(color,-1,sizeof(color));
for (int sta=0;sta<1<<k;sta++)
{
for (int i=1;i<=k;i++) color[a[i]]=1&(sta>>(i-1));
bool flag=0;
for (int i=1;i<=cnt;i+=2)
if (color[b[i]]&color[b[i+1]])
{
flag=1;
break;
}
if (flag) continue;
calc(n,0);
ans=(ans+g[n][0])%mod;
}
printf("%d\n",ans);
}
}VT;
void solve()
{
sort(a+1,a+cnt+1,cmp);
k=unique(a+1,a+cnt+1)-a-1;
int tail=1;
st[tail]=n;
for (int i=1;i<=k;i++)
{
int Lca=Get_Lca(a[i],st[tail]),pre=0;
while(dep[Lca]<dep[st[tail]])
{
if (pre) VT.insert(pre,st[tail]);
pre=st[tail--];
}
if (pre) VT.insert(pre,Lca);
if (Lca!=st[tail]) st[++tail]=Lca;
st[++tail]=a[i];
}
tail--;
while(tail) VT.insert(st[tail],st[tail+1]),tail--;
VT.solve();
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for (int i=1;i<=n;i++) DSU.fa[i]=i;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int u=read(),v=read();
if (DSU.find(u)!=DSU.find(v))
{
add(u,v),add(v,u);
DSU.fa[DSU.find(u)]=DSU.find(v);
}
else
{
b[cnt+1]=u,b[cnt+2]=v;
a[++cnt]=u,a[++cnt]=v;
}
}
++n;
add(1,n),add(n,1);
dfs(n);
Build_St();
Make_F(n,0);
solve();
return 0;
}
