四边形不等式

资料
https://www.cnblogs.com/Pedesis/p/11148801.html

对于转移函数\(w(i,j)\)
若满足\(w(a,c)+w(b,d) \leq w(a,d)+w(b,c)\)，\(a\leq b\leq c\leq d\)则称其为满足四边形不等式
证明时只需要整
\(w(a,b)+w(a+1,b+1) \leq w(a,b+1)+w(a+1,b)\)
即可

对于一维转移
\(f[i] = min_{0 \leq j < i} \{ f[j] + w(j, i) \}\)
若\(w\)满足四边形不等式，则f的决策点单调

对于二维转移
\(f[i][j] = min_{i \leq k < j} \{ f[i][k] + f[k + 1][j] + w(i, j) \}\)
若\(w\)满足四边形不等式，则有决策点单调
\(p[i][j - 1] \leq p[i][j] \leq p[i + 1][j]\)

当式子满足上述转移时，可以考虑去验证\(w\)是否满足四边形不等式
对于二维转移，可以优化为\(O(n^2)\)，对于一维转移，可以用cdq分治优化为一个\(log\)