部分阶乘相关问题LeetCode 172 NOJ1170 ZOJ1222
冷静一下，本来有一天的计划，就都给这NOJ的题目给耽误了。好吧一点一点来。
先是开胃菜LeetCode 172 阶乘末尾0的个数
对于某个阶乘来说，如果末尾出现0，那么说明他有一个因子是10，而10又可以分解成2和5相乘，就是说出现10这个因子的必要条件是有5这个因子，而和5配对的2是多的用不完的（最多的因子就是2了），所以只要数数1~n这些个数里面有多少个5就好了。
class Solution { public: int getfive(int n) { if(n == 0) return 0; return getfive(n/5) + n/5; } int trailingZeroes(int n) { return getfive(n); } };
然后是NOJ1170
求n！的最后一个不是0的数字是多少。比如说5！=120，那么最后的结果就是2.
其中最麻烦的就是5的倍数了，只要带上5准没好事，因为有5就会有10，就会在末尾多一个0.所以我们不要5，把所有的5的倍数都变成1，这样在不算5的倍数的情况下得到一个最后末尾数的循环
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，
1，1，2，6，4，4，4，8，4，6，06，06，02，06，04，04，04，08，04，06，06，
为了对齐，我就在前面补上0.
就得到这样一个循环（6，2，6，4，4，4，8，4，6，6），其中n=1的情况是要特判为1的。
这是不含5以及5的倍数的末尾非0数，那么也不能那么任性，真的不管那些5的倍数了，还是要管他们的。
5的倍数 5，10，15，20，25，30，35，40，45，50
去除5之后 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 ，10
然后是不是又是上面的序列得到（6，2，6，4，4，4，8，4，6，6）这样的对应关系，但是等等，不是提出来5了么，不能忽视了呀，对呀所以每提出来一个5，就需要一个2，把他的影响给去除掉。
呐，所以拿出一个2消掉5，那要保证整体数值不变呀，所以还要除以一个2，但是我们能拿到的只有最后一位数，那么就有这样的关系了
2/2 = 12/ 2 = 6 ； 4/2 = 2； 6 / 2 = 16/2 =8；8 / 2 = 4；因为最后阶乘的最后一位数都是偶数，所以有这样的关系。是不是又发现个循环（2，6，8，4）
所以呢，思路就有了，有两个任务，一个是要找出所有的数中有多少个5，这个可以用上面那一个题的方法，复杂度O（logn）。还有一个就是要算出不含5的阶乘计算最后一位数到底是多少。
比如说15！ 首先如果不考虑5的倍数，那么就是 4 ，但是其中有 5，10，15啊，去除5后，就是1，2，3，那么就还是要算上3！的末尾数，也就是 6，所以最终的末尾数就是 （4 * 6）%10=4啦
中间有三个5，所以是4/2/2/2=2/2/2=6/2=8
所以可以用递归的方法计算最后的数字是多少 f(n) = f(n/5)*g(n)[g(n)是不含5的倍数末尾数，f(n)是不含5的末尾数]。
做到这两件事，答案就出来了啊
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> using namespace std; int g[20]={1,6,2,6,4,4,4,8,4,6,6}; const int m[4]={2,6,8,4}; const int mod = 1e7; int getfive(int x) { if(x == 0) return 0; return (getfive(x/5)+x/5) % 4; } int getf(int x) { if(x < 10) return g[x]; return (getf(x/5) * g[x % 10 == 0 ? 10 : x % 10])%10; } int main() { int n; //freopen("C:\\Users\\Alruddy\\Desktop\\NOJ1170.txt","r",stdin); while(EOF != scanf("%d", &n)) { if(n == 0 || n == 1) { printf("%d\n", 1); continue; } int ans = getf(n); int po = getfive(n); //cout<<ans<< " "<<po<<endl; for(int i = 0; i < 4; i++) { if(ans == m[i]) { ans = m[(po + i) % 4]; break; } } cout<<ans<<endl; } return 0; }
欸，不容易啊，主要是这个数字实在是有点大，n最大能是50000000。
还有一个神题ZOJ1222，这个是用字符串作为输入，位数能达到。。。。我也不知道能到多少位。
不过思路还是上面的思路，找到多少个5，这个5的个数可以对4去模，因为除2也是一个循环。然后算出最后的不算5的最后末尾数字是多少，然后出结果。改变的大概就是大数的除法，不过复杂度没有改变。
数的位数log10(n),除5的最多次数也就是log5(n),复杂度(log2n),这是极好的。
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> using namespace std; const int N = 15000; const int p[11]={1,6,2,6,4,4,4,8,4,6,6}; const int m[4]={2,6,8,4}; char s[15000]; int getlastnum(char *s) { int n = strlen(s); int a[N]; for(int i = 0; i < n; i++) a[i] = s[n - i - 1] - '0'; if(n == 1 && a[0] < 5) { if(a[0] == 1 || a[0] == 0) return 1; return p[a[0]]; } int cnt = 0; int ans = p[a[0]]; for( ; n; n -= !a[n-1]) { int c = 0; for(int tmp = 0,i = n - 1; i >= 0; i--) { tmp = tmp * 10 + a[i]; a[i] = tmp / 5; c = (c * 10 +a[i]) % 4; tmp = tmp % 5; } cnt = (cnt + c) % 4; int tp = a[0] + a[1] * 10; tp = tp % 10 == 0 ? 10 : tp % 10; ans = ans * p[tp] % 10; } for(int i = 0; i < 4; i++) { if(m[i] == ans) { ans = m[(i + cnt)%4]; break; } } return ans; } int main() { //freopen("C:\\Users\\Alruddy\\Desktop\\ZOJ1222.txt","r",stdin); while(scanf("%s", s) != EOF) { printf("%d\n", getlastnum(s)); } }
