BZOJ1257（数论知识）

感觉做法很神奇……想不到啊qwq

题目：

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值

其中k mod i表示k除以i的余数。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

1<=n ,k<=10^9

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

 

第一步，每个数x对ans的贡献为：k - k / x * x，所以ans = n * k - Σ(int)(k / x) * x;而怎样小于O（n）地求Σ里的一串呢？只好用数学知识压缩计算范围。

 

第二步，存在g(x) = (int)(k / (int)(k / x))，（如果没有int的取下界那gx就是x了,以下gx不写括号了啊）,gx >= (int)(k / (k / x)) == (int)x == x，因此进一步有(int)(k / gx) <= (int)(k / x)（想一想为什么）。

 

第三步，(int)(k / gx) >= (int)(k / (k / (int)(k / x))) == (int)(k / x)。这个结论与第二步末尾结合一下可得，(int)(k / gx) == (int)(k / x)。这个推论就很重要了，意味着对于i∈[x, gx]，（int)(k / i)都是一样的，而我们要求的Σ里面那一坨，不过就是(int)(k / i) * i，那[x, gx]就是等差数列了，可以O(1)算出这一区间的值，而不是遍历。

 

第四步，如此，遍历的将是区间[1, g(1))]，[g(1)+1, g(g(1)+1)]，……那这样的区间有多少个？复杂度可以承受吗？回答是，最多有2√k个区间。x <= √k时，最多只有√k个取值；x > √k时，考虑每个区间的“特征值”(int)(k / x) < √k，因此区间的个数还是小于√k。至于x > k时，都是k / x都是0了……

 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define R(x) scanf("%lld", &x)
#define W(x) printf("%lld\n", x)

int main() {
    ll n, k;
    R(n), R(k);

    ll ans = n * k;
    for (int i = 1, gx; i <= n; i = gx + 1) {
        gx = k / i ? std::min(k / (k / i), n) : n;
        ans -= (k / i) * (gx - i + 1) * (i + gx) / 2;
    }

    W(ans);
}