NIM问题学习笔记
考前稍微梳理一下简单博弈论。
（一）什么是nim问题
可以看见这是一种最为基本的博弈论。
定义一类游戏主要满足一下几点性质。
1）绝对公平
双方可以动用全局资源，做出相同操作。
e.g.
围棋就不是，因为黑棋选手无法使用白棋。
同理象棋和五子棋也不是。
但自走棋（就是步步为营）满足这一性质。
2）回合制游戏
这一点不用多说，各位喜欢的皇室和王者就不算了。
3）玩家数为二
显然
4)没有平局这一概念
5）游戏状态有限
6）输的充要条件为你当前无法操作
然后再来讨论一下nim游戏，就十分清楚了
有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。
（二）一般NIM游戏解法
1.状态图
假设状态为1，2，3。（用（1,2,3）表示）
则可以推到对方的状态可能为（0,2,3），（1,1,3），（1,0,3），（1,2,2），（1,2,1），（1,2,0）
同理对方也可以这样转换到你的状态。
我们定义一下
必胜状态（即一定可以达到的状态）：
当且仅当他至少有一个后继状态为必败状态。
必败状态（即一定可以达到的状态）：
当且仅当他的所有后继状态为必胜状态。
于是可以想的，任何一个nim问题都可以用dp或是dfs来解决。
2.SG
显然上面的做法会超时
于是我们有请最强大数学大佬。
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也就是说，任何一个公平组合游戏都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下 面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Grundy函数。首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{1,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。
来看一下SG函数的性质。首先，所有的terminal position所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有前驱y都满足 g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。
以上这三句话表明，顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0（跟P-positioin/N-position的 定义的那三句话是完全对应的）。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值，就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有 向图游戏变复杂一点，比如说，有向图上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任选一颗进行移动，这时，怎样找到必胜策略呢？
让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也 就是说，当某枚棋子的SG值是k时，我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏， Nim游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这表明，如果将n枚棋子所在的顶 点的SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！
对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,…,an)，再设局面(a1,a2,…,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai 变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。
其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的Bouton’s Theorem几乎是完全相同的，只需要适当的改几个名词就行了。
刚才，我为了使问题看上去更容易一些，认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上，而是每个棋子在一个有向图上，每次可以任选一个棋子（也就是任选一个有向图）进行移动，这样也不会给结论带来任何变化。
所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi 并移动上面的棋子。Sprague-Grundy定理就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^…^g(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
再考虑在本文一开头的一句话：任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每 个ICG的每个position定义SG值，也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个 局面的SG值的方法，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！
回到本文开头的问题。有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗…… 我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆 石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每 个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保 守了些，干脆看作n个子游戏，其中第1、2个子游戏如上所述，第3个及以后的子游戏都是“1堆石子，每次取几颗都可以”，称为“任取石子游戏”，这个超简 单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实，n堆石子的Nim游戏本身不就是n个“任取石子游戏”的和吗？
所以，对于我们来说，SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏，而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游 戏，对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。
--百度百科
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看不懂！！！
但这有个简单结论：各个数的异或和为零时必败，否则必胜。
如果异或和不为零，则可以取一个数使他异或和为零。
我们知道二进制异或有一下两个性质。
1.任意一个大回合（双方各取一次）中一个二进制位上取偶数个数，则异或和不变。
2.一个高位的二进制位可以拆为两个小一级的二进制位。
对于单个二进制位讨论。如果这个位上有偶数个数，则我也取一个。如果没有过，那么我就把前一个拆为两个该位，同时取即可。如果连续几个位都没有的话，就往前拆即可。
（三）阶梯NIM游戏
规则大体相同，但有一点不一样。那就是在当前位置取了若干个点，会影响前一个的状态。
显然会使最后所有的点汇集到0位置的点。
结论：
记所有奇数位置的点的异或和为x。
x为0时，必败
相反必胜。
证明：
单纯考虑奇数位置，就会发现是一般的nim游戏。
再来考虑取偶数位置的情况。
如果我将它移到了左一个的位置，那对手可以再进行同样的操作，于是又变成了奇数的情况。
得证。
（四）树上推广
给一道XX中心模拟赛的题目。（幸好开始是ACM，不然我结论就猜错了）
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define LL long long 3 #define Maxn 200010 4 using namespace std; 5 6 //map <int, int> tot; 7 int dep[Maxn], tot[Maxn], fa[Maxn], val[Maxn]; 8 9 inline int read(){ 10 int x = 0,f = 1;char ch = getchar(); 11 while (!isdigit(ch)){if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); } 12 while (isdigit(ch)){x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48; ch = getchar(); } 13 return (f == 1)? x : -x; 14 } 15 16 inline void get(int u){ 17 int tag = 0, v = u; 18 while (u && !dep[u]) tag++, u = fa[u]; 19 tag += dep[u]; 20 while (v && !dep[v]) dep[v] = tag--, v = fa[v]; 21 } 22 23 int main(){ 24 freopen("ore.in", "r", stdin); 25 freopen("ore.out", "w", stdout); 26 int T = read(); 27 while (T--){ 28 int n = read(); 29 memset(tot, 0, sizeof(tot)); 30 memset(dep, 0, sizeof(dep)); 31 for (int i = 1; i < n; i++) fa[i] = read(); 32 for (int i = 0; i < n; i++) val[i] = read(); 33 for (int i = 1; i < n; i++) if (!dep[i]) get(i); 34 int ans = 0; 35 for (int i = 1; i < n; i++) if (dep[i] % 2 == 1) ans ^= val[i]; 36 if (ans) puts("win"); 37 else puts("lose"); 38 } 39 return 0; 40 }
难得一道AC，且A且珍惜
