阶乘问题 【数论】
题目来源
洛谷1134 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1134
题目简述
求 N！中最右侧第一个非零项 （命名为有效位）
输入输出格式
输入格式：
仅一行包含一个正整数 NN 。
输出格式：
一个整数，表示最右边的非零位的值。
分析
对于任意 N>1
有效位只能为 2,4,6,8
观察这几个数之间的连系（我的着手点为2进制）
2=2
4=2x2
8=2x2x2
6=2x2x2x2 （有效位）
2=2x2x2x2x2
4=2x2x2x2x2x2
......
那么可以得到
在这四个数中，
任意数 x6 得到其本身
任意数 x8 等价于减少一个 x2 （2=2x2x2x2x2）
接着，对于所有存在的个位数字 （因为需要排除个位为零导致十位数字参与运算的干扰，排除数字5,0）
1x2x3x4x6x7x8x9=6 （72576有效位为6）
而根据前文分析 ，x6是只会无意义的
所以对于 10*(k+1)>N>10*k 时 (1~10*k) 的相乘是无意义的
即我们只需要计算 N的个位相乘
最后再看我们先前忽略的干扰数字：
0 无法带来任何改变 ，忽略
5 对于 2x2x2x..x2 的一个数来说 x5 等价于减少一个 x2 ，也就是说 x5 等价于 x8 （我们这么做的目的是为了排除x5所导致对十位数字的计算）。而因为1~N中因数5的系数是连续的（例如N=32 具有1x5,2x5,3x5,4x5,5x5,6x5 共6（32/5）个5需要特殊处理，且其中系数1,2,3,4,5,6是连续且需要计算的，运算过程直接当成 N=6算即可）
1 #include<queue> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 int N; 8 void Read(int &x){ 9 x=0; 10 char c=getchar(); 11 while(!isdigit(c)) c=getchar(); 12 while(isdigit(c)) x=x*10-'0'+c,c=getchar(); 13 return ; 14 } 15 void Write(int x){ 16 int np=0; 17 int s[505]; 18 while(x) s[++np]=x%10,x/=10; 19 while(np) putchar(s[np--]+'0'); 20 putchar('\n'); 21 return ; 22 } 23 int E[4]={6,8,4,2}; //乘8的有效位（以4为周期的数列） 24 int main(){ 25 Read(N); 26 int ans=1; 27 while(N){ 28 for(int i=1;i<=(N%10);i++) 29 if(i!=5) ans=(ans*i)%10; 30 N/=5; //计算特殊处理的5 和 这些5的系数 31 ans=(ans*E[N%4])%10; 32 } 33 Write(ans); 34 return 0; 35 }
