计时器 【扩展欧几里得+BSGS】
题目：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2485
题目简介：
你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y、z、p，计算y^z mod p 的值；
2、给定y、z、p，计算满足xy ≡z(mod p)的最小非负整数x；
3、给定y、z、p，计算满足y^x ≡z(mod p)的最小非负整数x。
为了拿到奖品，全力以赴吧！
题解：
问题一： 二分快速幂
1 ll Make(ll x,ll y,ll mod){
2 if(y==0) return 1%mod;
3 ll mid=y/2;
4 ll ans=Make(x,mid,mod);
5 ans=(ans*ans)%mod;
6 if(y&1){ans=(ans*x)%mod;}
7 return ans;
8 }
9 void Next1(){
10 Read(Y),Read(Z),Read(P);
11 ll ans=Make(Y,Z,P);
12 Write(ans);
13 return ;
14 }
问题二： 扩展欧几里得模板
1 ll ExGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
2 if(b==0) {
3 x=1;
4 y=0;
5 return a;
6 }
7 ll res=ExGcd(b,a%b,y,x);
8 y-=a/b*x;
9 return res;
10 }
11 void Next2(){
12 Read(Y),Read(Z),Read(P);
13 ll x,y,res;
14 if(Y==0 && Z!=0){
15 printf("Orz, I cannot find x!\n");
16 return ;
17 }
18 res=ExGcd(Y,P,x,y);
19 if(Z%res){
20 printf("Orz, I cannot find x!\n");
21 return ;
22 }
23 x=((Z/res*x%P)+P)%(P/res);
24 Write(x);
25 return ;
26 }
问题三：BabyStepGiantStep 【BSGS】
对于幂取模，直接硬来（枚举指数）时间复杂度是过不去的
对于BSGS的理解：
对于 y^x ≡ z (mod p)
根据抽屉原理： y^(p+k) mod p 的值一定存在于 y^(1~p) mod p 中（因为mod p最多有p个值）
所以我们的考虑范围也就从 inf 缩小到了 p，但，这仍然是不够的
思考继续缩小考虑范围
想到分治，讲y^(1~p)分解为A部分 y^(1~m) 和B部分 y^(m+1~p)
考虑两者间的连系
对于B部分的y^j j一定满足 j=x+k*m (k*m 是为了保障x<m)
那么y^j=y^x * y^(k*m)
也就是说我们需要运算的也就化为了m+（p-m） （最坏情况）
为了应对最坏情况选择 m=sqrt（p）
实现方法（BSGS）：
根据前面分析，我们只需要预处理 y^(1~m) 的结果 （注意离散化储存）
然后枚举 y^(k*m) 并通过 方程 ： a*y^(k*m)+b*p=z 解出所需值 a （即分析中的 y^x）
而 a 若是预处理过的值，即找到了 原方程的解
1 const int Hash=100003; 2 int Tot; 3 int F[Hash+5]; 4 struct data{ 5 ll to,cost; 6 int next; 7 }E[Hash*10]; 8 void Addl(int x,ll y,ll z){ 9 E[++Tot]=(data){y,z,F[x]}; 10 F[x]=Tot; 11 return ; 12 } 13 int H(ll x){ 14 return abs(x)%Hash; 15 } 16 ll Updata(int op,ll x,ll z){ 17 int t=H(x); 18 int i=F[t]; 19 while(i){ 20 if(E[i].to==x) return E[i].cost; 21 i=E[i].next; 22 } 23 if(op==0) return 0; 24 Addl(t,x,z); 25 return 0; 26 } 27 void Next3(){ 28 Read(Y),Read(Z),Read(P); 29 if(Z==1){ 30 putchar('0');putchar('\n'); 31 return ; 32 } 33 if(Y==0 || Y%P==0){ 34 printf("Orz, I cannot find x!\n"); 35 return ; 36 } 37 Tot=0; 38 ll tmp=1; 39 memset(F,0,sizeof(F)); 40 41 int m=sqrt(P); 42 if(m*m<P) m++; 43 Updata(1,1,m+1); 44 for(ll i=1;i<m;i++){ 45 tmp=(tmp*Y)%P; 46 Updata(1,tmp,i); 47 } 48 tmp=(tmp*Y)%P; 49 ll ok=1,x,y; 50 for(ll i=0;i<m;i++){ 51 ll res=ExGcd(ok,P,x,y); 52 ll need=(((Z/res*x)%P)+P)%(P/res); 53 ll opi=Updata(0,need,0); 54 if(opi>0){ 55 if(opi==m+1) opi=0; 56 Write(opi+m*i); 57 return ; 58 } 59 ok=(ok*tmp)%P; 60 } 61 printf("Orz, I cannot find x!\n"); 62 return ; 63 }
总代码
1 #include<cmath> 2 #include<queue> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<iostream> 6 #include<algorithm> 7 using namespace std; 8 typedef long long ll; 9 int T,K; 10 ll Y,Z,P; 11 void Read(ll &x){ 12 x=0; 13 char c=getchar(); 14 while(!isdigit(c)) c=getchar(); 15 while(isdigit(c)) x=x*10-'0'+c,c=getchar(); 16 return ; 17 } 18 ll Make(ll x,ll y,ll mod){ 19 if(y==0) return 1%mod; 20 ll mid=y/2; 21 ll ans=Make(x,mid,mod); 22 ans=(ans*ans)%mod; 23 if(y&1){ans=(ans*x)%mod;} 24 return ans; 25 } 26 void Write(ll x){ 27 int np=0; 28 int s[500]; 29 while(x) s[++np]=x%10,x/=10; 30 if(!np) s[++np]=0; 31 while(np) putchar(s[np--]+'0'); 32 putchar('\n'); 33 return ; 34 } 35 void Next1(){ 36 Read(Y),Read(Z),Read(P); 37 ll ans=Make(Y,Z,P); 38 Write(ans); 39 return ; 40 } 41 ll ExGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ 42 if(b==0) { 43 x=1; 44 y=0; 45 return a; 46 } 47 ll res=ExGcd(b,a%b,y,x); 48 y-=a/b*x; 49 return res; 50 } 51 void Next2(){ 52 Read(Y),Read(Z),Read(P); 53 ll x,y,res; 54 if(Y==0 && Z!=0){ 55 printf("Orz, I cannot find x!\n"); 56 return ; 57 } 58 res=ExGcd(Y,P,x,y); 59 if(Z%res){ 60 printf("Orz, I cannot find x!\n"); 61 return ; 62 } 63 x=((Z/res*x%P)+P)%(P/res); 64 Write(x); 65 return ; 66 } 67 const int Hash=100003; 68 int Tot; 69 int F[Hash+5]; 70 struct data{ 71 ll to,cost; 72 int next; 73 }E[Hash*10]; 74 void Addl(int x,ll y,ll z){ 75 E[++Tot]=(data){y,z,F[x]}; 76 F[x]=Tot; 77 return ; 78 } 79 int H(ll x){ 80 return abs(x)%Hash; 81 } 82 ll Updata(int op,ll x,ll z){ 83 int t=H(x); 84 int i=F[t]; 85 while(i){ 86 if(E[i].to==x) return E[i].cost; 87 i=E[i].next; 88 } 89 if(op==0) return 0; 90 Addl(t,x,z); 91 return 0; 92 } 93 void Next3(){ 94 Read(Y),Read(Z),Read(P); 95 if(Z==1){ 96 putchar('0');putchar('\n'); 97 return ; 98 } 99 if(Y==0 || Y%P==0){ 100 printf("Orz, I cannot find x!\n"); 101 return ; 102 } 103 Tot=0; 104 ll tmp=1; 105 memset(F,0,sizeof(F)); 106 107 int m=sqrt(P); 108 if(m*m<P) m++; 109 Updata(1,1,m+1); 110 for(ll i=1;i<m;i++){ 111 tmp=(tmp*Y)%P; 112 Updata(1,tmp,i); 113 } 114 tmp=(tmp*Y)%P; 115 ll ok=1,x,y; 116 for(ll i=0;i<m;i++){ 117 ll res=ExGcd(ok,P,x,y); 118 ll need=(((Z/res*x)%P)+P)%(P/res); 119 ll opi=Updata(0,need,0); 120 if(opi>0){ 121 if(opi==m+1) opi=0; 122 Write(opi+m*i); 123 return ; 124 } 125 ok=(ok*tmp)%P; 126 } 127 printf("Orz, I cannot find x!\n"); 128 return ; 129 } 130 int main(){ 131 scanf("%d%d",&T,&K); 132 while(T--) 133 if(K==1) Next1(); 134 else if(K==2) Next2(); 135 else Next3(); 136 return 0; 137 }
