病毒分裂（分治）

题目：病毒分裂

	【问题描述】
		A学校的实验室新研制出了一种十分厉害的病毒。由于这种病毒太难以人工制造了，所以专家们在一开始只做出了一个这样的病毒。 　　这个病毒被植入了特殊的微型芯片，使其可以具有一些可编程的特殊性能。最重要的一个性能就是，专家们可以自行设定病毒的分裂能力 K，假如现在有x 个病毒，下一个分裂周期将会有 Kx个一模一样的病毒。你作为该实验室的数据分析员，需要统计出在分裂到第N个周期前，一共有多少个病毒单体进行了分裂（注意求的不是最终的细胞个数。。。LZ就这么错的0.0）。一开始时总是只有一个病毒，这个局面算作第一个周期。由于答案可能很大，专家们只需要你告诉他们对给定的P取模后的答案。

 

	【输入格式】
		一行三个整数，依次是K, N, P。

 

	【输出格式】
		一行一个整数，你的答案（对P取模） 。

 

	【输入样例】
		【样例1】 　5 3 7 【样例2】 　2 6 23

 

	【输出样例】
		【样例1】 　6 【样例2】 　8

 

	【样例解释】
		样例一解释：第一个周期有 1 个病毒，产生了一次分裂。第二个周期有 1*5=5 个病毒， 这五个病毒都会分裂。 所以第三个周期前一共进行了1+5等于 6 次分裂。答案即为6 mod 7 = 6。

 

	【数据范围】
		1 < N < 10^18 1 < K , P < 2^31

 

	【来源】
		八中命题。

 

题目分析：

对此类题目我们不妨现在草稿纸上先举例分析。

我们现在假设此刻我们的病毒一次能分裂3倍（怠惰啊！），而我们要计算的是4周之内分裂的次数（注意是分裂次数，而不是最终的分裂个数。。。LZ就这么错的诶）。

根据我们的例子很容易便能推导出：第n周内进行分裂的细胞个数就是 1+n+n*n+n^3+n^4+......+n^(n-2)

那么到这里各位已经做完这道题的大半了，剩下的便是针对上式的分析了

 

方法1：暴力求解

暴力枚举，老老实实地计算每一项的幂，再进行相加。当然，最简单的方法亦只能得到30分。（请仔细看数据范围）

 

方法2：分治求解！

提到分治首先我们要想到的便是二分（是LZ见识太少了么.....)

上式我们可以分成两个板块：求K的幂和求K^0 => k^(n-2) 的和（求幂的和）

请直接转至代码处观看详细讲解

 

 

技巧：

有人问了，既然暴力求解法得不到满分，那么LZ将它列处来有什么意义呢？很简单呀，它简单小巧又好写，在我们想不到其他方法的时候不妨现将它写粗来保证30分。好当然我绝对没有嘲笑XX  IQ的意思，那么对于想到分治方法的同学来说它有什么用处呢，那么我们就要提到一个竞赛技巧了： 对拍   

对于一道题来说我们总是能想到2种或2种以上的方法，那么除了满分方法意外，另外一种或几种方法便能与满分方法进行对拍。众所周知，考试种方法很容易便能想出来，但更难的是如何去将方法的代码无误的实现出来。所以对于这种题我们错的往往不在于超时，而在于代码出错。而相反，暴力方法虽然会超时，但代码出错基本是不会有的（PS：被自己打脸。。。），这时候我们便可以用暴力程序来检验我们的满分程序，从而找到错误。

 

好，水了这么多段落，我们来看一看如何更简单得实现对拍。

首先我们满分程序输入文件名称为：virus.in 输出文件名称为：virus.out

那么我们对拍程序输入文件名同为：virus.in 但输出文件名为：virus_dp.out

 

同时我们需要一个数据生成程序（参考代码处） virus_data.exe（可用C++编译）

 

以及一个进行比较输出数据的小程序（系统自带：fc      可直接搜索，一般在C盘内）

 

那么我们新建一个bat文件，并在其中编辑：

@echo off         清除冗杂指令，诸位可以试试不加这句的后果（密恐请勿尝试）

:loop             跟后面Onto loop组成循环

  virus_data.exe   运行数据生成程序

  Virus.exe        运行满分程序

  virus_dp.exe     运行对拍程序

  fc  virus.out  virus_dp.out   比较两者的输出数据

  If  not  errorlevel  1  onto loop    如果未出错便比较下一组数据

  Pause           如果有错便暂停

onto loop          比较下一组数据

 

代码处：

1.满分代码

 

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll k,n,p;
ll qkpow(ll a,ll b){     //二分求幂 
    if(b==0) return 1;   //给出边界：当计算a^0返回答案1 
    ll m=b/2;            //二分指数 
    ll cmt=(qkpow(a,m))%p;//先求出a^m的值 
    ll s=(cmt*cmt)%p;    //通过a^n=a^m*a^m 求出a^n
    if(b&1) s=(s*a)%p;   //如果n是奇数的话应该再乘上一个a
    return s;            }
ll solve(ll a,ll b){    //二分求幂和 a^1+a^2+....+a^b
    if(b==1) return a;  //给出边界：当计算a^1时返回答案a
    ll m=b/2;               ll cmt=solve(a,m);  //求出 a^1+a^2+....+a^m=cmp
    ll t=qkpow(a,m);        ll s=(cmt*t+cmt)%p; //通过a^1+a^2+...a^n=cmp*a^m+cmp
    if(b&1) s=(s+qkpow(a,b))%p;//同样要特殊对待奇数的b
    return s;           }
int main(){
    freopen("virus.in","r",stdin);
    freopen("virus.out","w",stdout);
    ll na;
    cin>>k>>n>>p;
    ll ans=(solve(k,n-2)+1)%p;
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

2.数据生成器

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;


int main()
{
   freopen("virus.in","w",stdout);
   srand(time(NULL));
   int n,k,p;
   
   n=rand()+2;
   k=rand()+2;
   p=rand()+2;

   printf("%d %d %d\n",k,n,p);    
   return 0;    
}