训练计划Day1

Day1：二分答案，三分查找，快速幂，欧拉筛素数 | 题目：火星人，Bridge，GCD，Prime Path

• 二分答案

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【JSOI 2008】 火星人

对于第一个操作用\(hash + 二分\)来求得，二三直接平衡树维护即可。

【Bridge】

混合图欧拉回路模板，还是挺有意思OTZ...

具体就是首先调整图的定向，使得有欧拉回路（入度=出度）。

然后，将所有\(in>out\)的点向超级汇点连一个容量为\((in - out)>>1\)的边，超级源点向所有\((out > in)\)的点连一条容量是\((out - in)>>1\)的边，对于图中所有定向为\((x,y)\)的无向边连一个容量为1的边。

接着跑网络流，看是否满流判断有解还是无解。

最后把在网络流中建出的容量为1的边中经过流量的边反向，就跑出了一个欧拉回路有向图。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define debug(x) cout<<"#X:"<<x<<endl;
const int maxn = 200010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read(){
	int q=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		q=q*10+ch-'0';ch=getchar();
	}
	return q*f;
}

struct edge{
	int to;
	int nxt;
	int w;
}e[maxn];
int cnt = 1;
int head[maxn];

inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++cnt].to = v;
	e[cnt].nxt = head[u];
	head[u] = cnt;
	e[cnt].w = w;
}

inline void Add(int u,int v,int w) {
	add(u,v,w);
	add(v,u,0);
}
int S,T;
int dis[maxn];
queue<int>q;
int cur[maxn];
inline bool bfs() {
	for(int i = S;i <= T; ++i) {
		dis[i] = -1;
	}
	dis[S] = 0;
	q.push(S);
	while(!q.empty()){
		int u = q.front();
		q.pop();
		for(int i = head[u];i;i=e[i].nxt) {
			int y = e[i].to;
			if(e[i].w && dis[y] == -1) {
				dis[y] = dis[u] + 1;
				q.push(y);
			}
		}
	}
	return dis[T] != -1;
}

inline int dfs(int x,int f) {
	if(x == T) return f;
	int w;
	int used = 0;
	for(int i = cur[x];i;i=e[i].nxt) {
		int y = e[i].to;
		if(e[i].w && dis[y] == dis[x] + 1){
			w = dfs(y,min(e[i].w,f - used));
			e[i].w -= w;
			e[i ^ 1].w += w;
			used += w;
			if(e[i].w)cur[x] = i;
			if(used == f) return f;
		}
	}
	if(!used) dis[x] = -1;
	return used;
}

inline int dinic(){
	int ans = 0;
	while(bfs()) {
		for(int i = S;i <= T; ++i) {
			cur[i] = head[i];
		}
		ans += dfs(S,INF);
	}
	return ans;
}
int in[maxn];
int out[maxn];
int n,m;
int u[maxn];
int v[maxn];
int w1[maxn];
int sum;
int w2[maxn];
inline bool check(int mid) {
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(in,0,sizeof(in));
	memset(out,0,sizeof(out));
	cnt = 1;
	S = 0,T = n + 1;
	sum = 0;
	for(int i = 1;i <= m; ++i) {
		if(w1[i] <= mid) out[u[i]]++,in[v[i]]++;
		if(w2[i] <= mid) Add(v[i],u[i],1);
	}
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		if(abs(in[i] - out[i]) & 1) return 0;
	}
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		int c = in[i] - out[i];
		if(c > 0) {
			sum += (c >> 1);
		}
		if(c > 0){
			Add(S,i,c>>1); 
		}
		if(c < 0){
			Add(i,T,(-c)>>1);
		} 
	}
	int res = dinic();
	return res == sum;
}
int l,r;
int main() {
	n = read(),m = read();
	l = INF;
	r = -INF;
	for(int i = 1;i <= m; ++i) {
		u[i] = read(),v[i] = read(),w1[i] = read(),w2[i] = read();
		if(w1[i] > w2[i]) swap(w1[i],w2[i]),swap(u[i],v[i]);
		l = min(l,w1[i]);
		r = max(r,w2[i]); 
	}
	//debug(1);
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		//debug(mid);
		if(check(mid)){
			r = mid - 1;
		}
		else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	if(!check(l)){
		puts("NIE");
	}
	else printf("%d\n",l);
	return 0;
}

• 三分查找

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似乎好像会啊...OTZ

期末考试算不算？？

其实比二分有点就是函数可以不单调。

每次把区间三分（l,l+(r-l)/3,r-(r-l)/3,r)比较哪个更靠近最值，然后取舍区间即可。

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• 快速幂

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啊啊还是总结一下模板算了...

inline int pow(int x,int y) {
    int res = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) res = res * x;
        x = x * x;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

• 欧拉筛素数

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一个欧拉筛啊。。。

inline void init(){
	int tot = 0;
	memset(check, 0, sizeof(check));
	for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
	{
	  if (!check[i])
	  {
	    prime[tot++] = i;
	  }
	  for (int j = 0; j < tot; ++j)
	  {
	    if (i * prime[j] > MAXL)
	    {
	      break;
	    }
	    check[i*prime[j]] = 1;
	    if (i % prime[j] == 0)
	    {
	      break;
	    }
	  }
	}
}
	

欧拉函数

inline void init(){
int tot = 0;
phi[1] = 1;
memset(check, 0, sizeof(check));
for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
{
  if (!check[i])
  {
    prime[tot++] = i;
    phi[i] = i - 1;
  }
  for (int j = 0; j < tot; ++j)
  {
    if (i * prime[j] > MAXL)
    {
      break;
    }
    check[i*prime[j]] = 1;
    if (i % prime[j] == 0)
    {
      phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
      break;
    }else
    {
      phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
    }
  }
}
}

【bzoj 2095】GCD

对于每个素数，影响的只有\([1,n/p]\)筛出欧拉素数之后前缀和处理。

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn = 10000010; 
using namespace std;
int phi[maxn];
int prime[maxn];
bool vis[maxn];
long long ans;
int n;
int cnt;
inline void init() {
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n; ++i) {
		if(!vis[i]) {
			phi[i] = i - 1;
			prime[++cnt] = i;
		}
		for(int j = 1;j <= cnt; ++j) {
			int tmp = prime[j];
			if(i * tmp > n) break;
			vis[i * tmp] = 1;
			if(i % tmp == 0) {
				phi[i * tmp] = phi[i] * tmp;
			}
			else {
				phi[i * tmp] = phi[i] * phi[tmp];
			}
		}
	}
}
long long s[maxn];
int main (){
	cin >> n;
	init();
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		s[i] = s[i - 1] + phi[i];
	}
	for(int i = 1;i <= cnt;  ++i) {
		ans += (s[n / prime[i]]<<1) - 1;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

【poj 3126】Prime Path

bfs+素数判定OTZ懒得写了...

Day1结束分割线

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