单调队列优化多重背包

题目描述

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。

第 \(i\) 种物品最多有 \(s_i\) 件，每件体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

范围

\(0<N≤1000\)
\(0<V≤20000\)
\(0<v_i,w_i,s_i≤20000\)

题解

考虑\(f_{j * k \times v}\)是由若干个{\(f_j,f_{j+v},f_{j+2v}…\)}最大值转移而来。

写出dp方程之后用单调队列转移即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20010;
int n,m;
int pre[N];
int dp[N];
int q[N];

int main () {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		int s,v,w;
		cin >> v >> w >> s;
		memcpy(pre,dp,sizeof dp);
		for(int j = 0;j < v; ++j) {
			int head = 1;
			int tail = 0;
			for(int k = j;k <= m; k += v) {
				while(head <= tail and q[head] < k - s * v) head ++;
				while(head <= tail and pre[q[tail]] - (q[tail] - j) / v * w <= pre[k] - (k - j) / v * w)
					tail --;
				q[++tail] = k;
				if(head <= tail) dp[k] = pre[q[head]] - (q[head] - k) / v * w;
			}
		}
	}
	cout << dp[m] << endl;
	return 0;
}