关联规则的常用算法
关联规则（association rules）是一种广泛使用的模式识别方法，比如在购物篮分析（Market basket Analysis），网络连接分析（Web link），基因分析。我们常常提到的购物篮分析，它的典型的应用场景就是要找出被一起购买的商品集合。
关联规则的可能的应用场景有：
- 优化货架商品摆放，或优化邮寄商品目录的内容
- 交叉销售和捆绑销售
- 异常识别等
关于交易数据的表述形式
先说最简单的三种形式，水平表述、垂直表述和矩阵表述，直接看图：
接着是稍稍变换之后的两种表述形式：
- 排序表述（lexicographically sorted）
- 前缀树表述（prefix tree）
这三种数据表述形式（水平、垂直、前缀树）分别对应算法：apriori、Eclat 和 FP growth，本篇主要描述 apriori 和 FP growth 两种算法。
Apriori 算法
Apriori算法是一种最有影响的挖掘 0-1 布尔关联规则频繁项集的算法。这种算法利用了频繁项集性质的先验知识（因此叫做priori）。Apriori使用了自底向上的实现方式（如果集合 I 不是频繁项集，那么包含 I 的更大的集合也不可能是频繁项集），k – 1 项集用于探索 k 项集。首先，找出频繁 1 项集的集合(L1)，L1用于找频繁 2 项集的集合 L2，而 L2 用于找 L3，如此下去，直到不能找到满足条件的频繁 k 项集，则迭代停止。搜索每个 Lk 需要一次全表数据库扫描。
我们假设一个很小的交易库：{1,2,3,4}, {1,2}, {2,3,4}, {2,3}, {1,2,4}, {3,4}, {2,4}
首先我们先要计算发生频数（或者叫做support）
| item | support |
|---|---|
| {1} | 3 |
| {2} | 6 |
| {3} | 4 |
| {4} | 5 |
1项集的最低频数是3，我们姑且认为他们都是频繁的。因此我们找到1项集所有可能组合的pairs：
| item | support |
|---|---|
| {1,2} | 3 |
| {1,3} | 1 |
| {1,4} | 2 |
| {2,3} | 3 |
| {2,4} | 4 |
| {3,4} | 3 |
在这里，{1,3}, {1,4} 不满足support大于3的设定（一般support是3/(3 + 6 + 4 + 5)），因此还剩下的频繁项集是：
| item | support |
|---|---|
| {1,2} | 3 |
| {2,3} | 3 |
| {2,4} | 4 |
| {3,4} | 3 |
也就是说，包含{1,3}, {1,4}的项集也不可能是频繁的，这两条规则被prune掉了；只有{2,3,4} 是可能频繁的，但它的频数只有2，也不满足support条件，因此迭代停止。
但我们可以想象，这种算法虽然比遍历的方法要好很多，但其空间复杂度还是非常高的，尤其是 L1 比较大时，L2 的数量会暴增。而且每次Apriori都要全表扫描数据库，开销也非常大。
即便如此 apriori 算法在很多场景下也足够用。在R语言中使用 arules 包来实现此算法（封装的是C实现，只要装载的 sparse matrix 可以载入内存，support 设置合理，速度非常快）。
FP growth
前文提到了用apriori需要全表扫描，对于超大型数据会出现一些问题。如果有一种方法，可以不每次全表扫描，而是用一个简洁的数据结构（压缩之后的数据库）把整个数据库的信息都包含进去，通过对数据结构的递归就完成整个频繁模式的挖掘，并保证最低的搜索消耗。这种方法的其中一种实现便是 FP growth算法。这个算法因为数据结构的 size 远远小于原始的数据库，所有的数据操作可以完全在内存中计算，挖掘速度就可以大大提高。
FP growth 算法包含两部分：存储的FP tree 和对应的FP 算法：
FP-tree 的结构
想想开头提到的交易数据的前缀树表述，那是一种压缩数据的方法。J. Han 对 FP-tree 的定义如下：
- 根节点被标记为 root，item 按照一定的顺序连接为子树。以及一个frequent-item-header 表（其实就是item按照出现频率排序的表格，下图中左侧的表格）
- 每个子树上包含如下信息：
- item 的名称（比如下图中I2, I3, I5等）
- 计数（support count）：到达这个节点的路径深度
- 节点的连接情况（node-link，和哪个节点有关系）
FP-tee 的算法
我们拿一个例子来说明问题。假如我们数据库中记录的交易信息如下（最低support为3）：
| No. | transactions | Sort |
|---|---|---|
| 1 | ABDE | BEAD |
| 2 | BCE | BEC |
| 3 | ABDE | BEAD |
| 4 | ABCE | BEAC |
| 5 | ABCDE | BEACD |
| 6 | BCD | BCD |
首先我们先要了解所有的一项集出现的频率（support，重新排序的结果见上图的Sort部分）：B(6), E(5), A(4), C(4), D(4)。
对于排序后的每条记录的迭代后 FP-tree 结构变化过程为（也就是一条一条计数的增加）：
也就是说，原始数据被压缩到和最后那张图一样的结构上。
接着是比较关键的 FP-tree 的挖掘，过程见下图：
对于D这个节点来说，
（1）首先它的频繁项集是 D(4)，它包含在三条链路里：
(B(6),E(5),A(4)),(B(6),E(5),A(4),C(2)),(B(6),C(1))
第一条链路里D有两次出现，而其他两个链路在D的条件下各出现了一次。因此我们说D有3个前缀路径
(BEA:2),(BEAC:1),(BC:1)
(2) 根据这个信息我们重构D条件下的 FP-tee，则如下图中 Project:D(4) 的结构。当然还没有完，还要继续搜索可能的规则，因为我们的 support 为3，因此 Project:D(4) 中，最末端的两个 C(1) 则应该减枝掉。
(3) 而A、E、B的频数依然可以被使用，即 DA(3)、DE(3)、DB(4)。
(4)
- 对于 DA(3) 的前缀路径是 Project:DA(3) 的树形结构，因此这条线的最终结果是 DAE(3),DAEB(3),DAB(3)。
- 对于 DE(3) 的前缀路径是 Project:DE(3) 的树形结构，最终结果是 DEB(3)
- 对于 DB(4) 只有一个根，没有结果
(5) 对于C这个节点来说，同样可以找到它的前缀路径 (BEA:2),(BE:1),(B:1)，因此得到 Project:C(4) 的结构，A被减枝掉，则最后剩余了 CE(3),CEB(3),CB(4)。
再向上，找A节点；找E节点；找B节点；这样一步一步搜索所有可能的结果。最终满足support大于3条件的频繁项集即为 DAE,DAEB,DAB,DEB,CE,CEB,CB,AE,AEB,AB,EB
【总结】：从下往上找分析每一个节点，
1.先找D的所有前缀路径。
2.将前缀路径中，出现次数小于support的节点剪枝。
3.找到所有以D为前缀的所有二项集。
4. 以每个二节点为前缀，找到所有对应的三项集 ... ,直到将所有的路径遍历完毕为止。
5.继续对D的上一个节点进行以上的1-4步骤。
当然，上面只是简单的把 FP-tree 的原理说明了一下，里面的一些trick并没有提及，感兴趣的读者可以找一找相关paper。
FP-tree 算法在R中的实现
在R中没有现成的包来做这个事情，但有意思的是arules包的作者也写了 FP-tree 算法，只是没有封装而已。当然只要有算法的C代码，嵌入到R环境中也是不难的。
先到作者的主页下载相关的源代码，我选择是的fpgrowth.zip的C代码编译通过。
cd /home/liusizhe/download/fpgrowth/fpgrowth/src/ make make install ./fpgrowth -m2 -n5 -s0.075 /home/liusizhe/experiment/census.dat frequent
参数的话，可以直接参考 fpgrowth 的帮助，比如上面m对应的是最小项集，n对应的最大项集，s是support值，后面接了 inputfile 和 outputfile 两个文件。
当然，如果有必要的话，上面的算法都可以写到并行架构，比如 map-reduce。甚至如果只是求解二项集，在不同的语言环境下甚至几行代码就可以搞定。
参考目录和延伸阅读：
- http://en.wikipedia.org/wiki/Association_rule_learning
- http://en.wikipedia.org/wiki/Apriori_algorithm
- http://www.borgelt.net//courses.html#fpm
转：
http://www.17bigdata.com/%E5%85%B3%E8%81%94%E8%A7%84%E5%88%99%E7%9A%84%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%AE%97%E6%B3%95.html
