wtf is really pqr?
Schur Inequality
假设有 \(a,b,c\in\mathbb{R}^+\)，那么 \(\forall r\in\mathbb{R}\)，都有：
\[f=\sum_{cyc}a^r(a-b)(a-c)\geq 0
\]
Proof
不妨假设 \(a\geq b\geq c\geq 0\)，那么 \((a-b)(a-c)\geq 0\)，\((b-a)(b-c)\leq 0\)，\((c-a)(c-b)\geq 0\)。
接下来对于 \(r\) 分类讨论：
- 当 \(r\geq 0\) 时，\(c^r(c-a)(c-b)\) 是较小的那个正数。因此 \(f\geq a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)=(a-b)(a^r(a-c)-b^r(b-c))\geq 0\)；对于两部分 \(a\geq b\) 和 \(a^r(a-c)\geq b^r(b-c)\) 是显然的。
- 当 \(r<0\)，那么 \(a^r(a-b)(a-c)\) 是较小的那个正数，因此 \(f\geq b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)=(b-c)(c^r(a-c)-b^r(a-b))\geq 0\)，同样地，两个括号中 \(\geq 0\) 是显然的。
Common application
这里有很多非常常见的应用。
- let \(r=1\)：三次 Schur 不等式
这个时候我们有 \(\sum_{cyc}a(a-b)(a-c)\geq 0\)。
接下来我们展开整理。这里不详细记述如何整理，毕竟博文不是草稿纸。
\[\sum_{cyc}a^3+3abc\geq \sum_{cyc}a(b^2+c^2)=\sum_{cyc}a^2(b+c)=\sum_{cyc}ab(a+b)
\]
- 对于 \((1)\) 中右侧形式运用基本不等式
\[\sum_{cyc}a^3+3abc\geq \sum_{cyc}ab(a+b)\geq \sum_{cyc}ab(2\sqrt {ab})=\sum_{cyc} 2(ab)^{\frac{3}{2}}
\]
换元令 \(x=a^{\frac{3}{2}}\)，\(y=b^{\frac{3}{2}}\)，\(z=c^{\frac{3}{2}}\)，那么有：
\[\sum_{cyc} x^2+y^2+z^2+3(xyz)^{\frac{2}{3}}\geq 2\sum_{cyc}xy
\]
注意条件是：\(\forall x,y,z\in\mathbb{R}^+\)。
- 对于 \((2)\) 中左右两边同时加上 \(2\sum_{cyc}xy\)
那么有 \((x+y+z)^2+3(xyz)^{\frac{2}{3}}\geq 4\sum_{cyc}xy\)
- let \(r=2\)：四次 Schur 不等式
略。
pqr method
pqr 法的思路就是将一些长得比较难看但是能够对称的三元式子用 \(p=\sum a\)，\(q=\sum ab\)，\(r=\prod a\) 来表示，本质上就是一些比较愚蠢的代数式变换。
我们不妨对于这样的表示回代 Schur 不等式。我们有：
- 三次 Schur 不等式：\(p^3-4pq+9r\geq 0\)。
- 四次 Schur 不等式：\(p^4-5p^2q+4q^2+6pr\geq 0\)。
取等时 \(a,b,c\) 应该取到 \(a,a,a\) 或者 \(a,a,0\) 及其轮换。
