矢量微分

Intro

很久没有这么正经写过 Blog 了，正好 luogu blog 也很久没更了，整点抽象的。

帕里早上讲的 concrete 混凝土成功成为笑点，虽然还是不能改变他整个人【】的事实。

signs

\(\vec A\)：表示矢量 \(A\)。

\(|\vec A|\)：表示 \(\vec A\) 的模长。

\(\hat n\)：表示单位向量 \(\vec n\)。

\(\mathrm{d}x\)：微分算子。

\(\nabla\)：nabla 算子。

本文不区分矢量和向量。

vector

矢量、标量 def 略过。

矢量的运算法则：

• 矢量加法：满足三角形法则

• 矢量减法：对于 \(\vec A\) 与 \(\vec B\)，则 \(\vec A-\vec B=\vec A+(-\vec B)\)，而 \(-\vec B\) 被定义。

• 三种乘法。

three kinds of products

• 数乘：略。

• 点乘：\(\vec A\) 和 \(\vec B\) 的点乘即 \(\vec A \cdot \vec B=|\vec A||\vec B|\cos\theta\)。

  • 其中 \(\theta\) 指的是在将 \(\vec A\) 与 \(\vec B\) 挪动至同一起点时 \(\vec A\) 与 \(\vec B\) 的夹角。
  • 几何意义是 \(\vec A\) 在 \(\vec B\) 上的投影。

• 叉乘：\(\vec A\) 和 \(\vec B\) 的叉乘即 \(\vec A \times \vec B=|\vec A||\vec B|\sin\theta\hat n\)。

  • \(\hat n\) 的方向根据右手定则。具体就是右手的四指从 \(\vec a\) 转向 \(\vec b\) 不超过 \(\pi\)，大拇指朝向的方向就是 \(\hat n\) 的方向。

由此引入关于向量两种积的运算性质：

• 仅点乘满足交换律，叉乘不满足交换律。具体来说：\(\vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec a\)，\(\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a\)。叉乘满足的性质叫做反交换律。

• 点乘满足结合律，叉乘不满足结合律。\(\vec (a\times\vec b)\times\vec c\not=\vec a\times(\vec b\times \vec c)\)。但是叉乘满足 Jacobi 恒等式。

可以原矢量的分量表示叉乘。

drill: given \(\vec A=x_A\hat i+y_A\hat j+z_A\hat k\), \(\vec B=x_B\hat i+y_B\hat j+z_B\hat k\), express \(\vec A\times \vec B\) in the form of \(x,y,z,\hat i,\hat j,\hat k\)。

ans:
\(\begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ x_A & y_A & z_A\\ x_B & y_B & z_B \end{vmatrix}\), note that \(\hat i\times\hat i=0\).

• Lagrange 公式：\((\vec a\times \vec b)\times \vec c=(\vec a\cdot \vec c)\vec b-(\vec b\cdot \vec c)\vec a\)，\(\vec a\times (\vec b\times \vec c)=(\vec a\cdot \vec c)\vec b-(a\cdot b)\vec c\)。

triple product

1. 标量三重积

\(\vec A\cdot (\vec B\times \vec C)=\begin{vmatrix}A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z\\ C_x & C_y & C_z\end{vmatrix}\)。证明即运用上述行列式结论拆一下即可。根据行列式的性质 \(\vec A\cdot(\vec B\times \vec C)=\vec B\cdot(\vec C\times \vec A)=\vec C \cdot (\vec A\times \vec B)\)。

几何意义是一个平行六面体的体积。

2. 向量三重积

\(\vec A\times(\vec B\times C)=(\vec A\cdot \vec C)\vec B-(\vec A\cdot \vec B)\vec C\)。由于几何意义过于抽象不展开。

drill: 将标量三重积用分量形式表示。

是一个繁杂的嗯展开的过程。

differential

basics

对于函数 \(y=f(x)\)，这里以 \(f(x)=x^2\) 举例：

\[\mathrm{d}y=(x+\mathrm{d}x)^2-x^2=2x\mathrm{d}x+(\mathrm{d}x)^2 \]

这里 \((\mathrm{d}x)^2=\mathrm{d}^2x\) 是一个比 \(\mathrm{d}x\) 高阶的无穷小，因此扔了。

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x \]

也是一种妙妙求导法。

partial

考虑一个多元函数 \(T(x,y,z)\)，现在给它的 \(x\) 加上往正方向的无穷小，变为 \(T(x+\mathrm{d}x,y,z)\)，对其作差：

\[T(x+\mathrm{d}x,y,z)-T(x,y,z)=(\frac{\partial T}{\partial x})\mathrm{d}x \]

考虑讲 \(y,z\) 作为常数即可。

全微分即在三个方向上均有变量变化。

\[T(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y,z+\mathrm{d}z)-T(x,y,z)=\mathrm{d}T=(\frac{\partial T}{\partial x})\mathrm{d}x+(\frac{\partial T}{\partial y})\mathrm{d}y+(\frac{\partial T}{\partial z})\mathrm{d}z \]

vector differentiation

观察到上述式子非常符合向量运算格式，直接开搞。

\[\begin{aligned}T(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y,z+\mathrm{d}z)-T(x,y,z)&=\mathrm{d}T=(\frac{\partial T}{\partial x})\mathrm{d}x+(\frac{\partial T}{\partial y})\mathrm{d}y+(\frac{\partial T}{\partial z})\mathrm{d}z\\&=((\frac{\partial T}{\partial x})\hat i+(\frac{\partial T}{\partial y})\hat j+(\frac{\partial T}{\partial z}\hat k))\cdot (\mathrm{d}x\hat i+\mathrm{d}y\hat j+\mathrm{d}z\hat k) \end{aligned} \]

第一个括号内可以理解为 \(x\) 方向的变化率，\(y\) 方向的变化率，\(z\) 方向的变化率；第二个括号内则是一段位移。

引入 nabla operator \(\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\hat i+\frac{\partial}{\partial y}\hat j+\frac{\partial}{\partial z}\hat k\)，可以将其理解为对向量进行偏微分。

梯度 \(\operatorname{grad} f=\nabla f\)，散度 \(\operatorname{div} \vec v=\nabla \cdot \vec v\)，旋度 \(\operatorname{curl} \vec v=\nabla\times \vec v\)。

rotation matrix

只会二维的。

对于一个在平面直角坐标系内的向量 \(\vec A\)，其在 \(x\) 轴上的投影是 \(x_A\)，在 \(y\) 轴上的投影是 \(y_A\)。将这个直角坐标系在平面内绕原点逆时针旋转 \(\phi\)，则 \(\vec A\) 变化为 \(\vec A'\)，\(x_A'=x_A\cos\phi+y_A\sin\phi\)，\(y_A'=-x_A\sin\phi+y_A\cos\phi\)。

根据矩阵性质：

\[\begin{bmatrix}x_A'\\y'_A\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\phi & \sin\phi\\-\sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_A\\y_A\end{bmatrix} \]

但是这样做不够令人习惯，于是取一下 \(\phi\) 的相反数，使得往顺时针方向旋转。

\[\begin{bmatrix}x_A'\\y'_A\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\phi & -\sin\phi\\\sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_A\\y_A\end{bmatrix} \]

称呼 \(\begin{bmatrix}\cos\phi & -\sin\phi\\\sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}\) 为一个旋转矩阵。

一个性质是旋转矩阵对应的行列式一定等于 \(1\)。

对于上面这个矩阵乘积式可以写作 \(x_A'=\sum\limits_{i=1}^2R_{1,j}x_A\)，\(x_B'=\sum\limits_{i=1}^2R_{2,j}x_B\)。

后面掉线了没连回来。有时间再更。