浅谈LCA(最近公共祖先)

何为LCA？LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。
对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。
另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。

计算机竞赛中常常出现结合LCA及各种算法的题目，例如NOIP2015的运输计划、NOIP2013的货车运输等等...
可以说，LCA在近几年算是个热门的考点。如何高效地求LCA也成为了各Oier的关注点。

求解方法

方法一（暴力）

对于有根树T的两个结点u、v，首先将u，v中深度较深的那一个点向上蹦到和深度较浅的点，然后两个点一起向上蹦，直到蹦到同一个点，这个点就是u，v的最近公共祖先，记作LCA（u，v）。
但是这种方法的时间复杂度在极端情况下会达到O（n）。特别是有多组数据求解时，时间复杂度将会达到O（n*m）。

方法二（倍增求LCA）

对于下图我们要求\(u,v\)的LCA，我们首先将\(u,v\)提升至同一高度，然后一起向上跳，直到两点相遇的那一刻，我们就得到了两点的LCA。

但是每次只跳一步的效率太低，我们想要提高算法效率，就必须增大每次跳的步数，这里我们使用倍增。

此算法基于动态规划。我们可以先预处理出点i往上跳\(2^j\)步距离到达的点为\(f[i][j]\),则令能够使\(f[u][j]==f[v][j]\)成立的最小的\(j\)对应的\(f[u][j](f[v][j])\)为\(u,v\)两点的LCA。注意：初始化时\(f[i][0]=father[i]\)

举个栗子，例如\(u\)要往上跳6点到达\(r\)，则可先跳\(2^2\)到达\(a(a=f[u][2])\)，再由\(a\)跳\(2^1\)步到达\(r(r=f[a][1]=f[f[u][2]][1])\)。任何一个数k都可以拆成\(2^i\)的和。

那么，怎么求两个点\(u,v\)的LCA呢？
1:对于\(u和v\)深度比较深的点，假设是\(u\)，先把他的深度提到跟\(v\)一样，即一直往他的父节点走。
2:这是\(u和v\)的深度是一样的，然后就一直同时提高\(u,v\)的深度，即一直往他们的父节点走，直到\(u=v\)，那么这个点就是\(u和v\)的LCA。

这时，我们已经得出了求两点LCA的方法，只需要将每次提升的步数做修改即可。剩下的我不多说，详细见模板。

模板

void dfs(int now,int fa)
{
	f[now][0]=fa; d[now]=d[fa]+1; maxd=max(maxd,d[now]);
	for (Re i=head[now];i;i=edge[i].next)
		if (edge[i].to!=fa) dfs(edge[i].to,now);
}
int LCA(int u,int v)
{
	if (d[u]>d[v]) swap(u,v); int i;
	while (d[u]<d[v])
	{
		for (i=0; d[f[v][i]]>=d[u]; ++i);
		v=f[v][i-1];
	}
	while (u!=v)
	{
		for (i=1; f[u][i]!=f[v][i]; ++i);
		u=f[u][i-1]; v=f[v][i-1];
	}
	return u;
}
void Initialization()
{
    dfs(1,0);
	for (int j=1; (1<<j)<=maxd; ++j) //maxd为树的最大深度
    	for (int i=1; i<=N; ++i)
	    	f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
}