dp-字符串子序列

1、最长公共子序列

对于两个子序列 S1 和 S2，找出它们最长的公共子序列。

定义一个二维数组 dp 用来存储最长公共子序列的长度，其中 dp[i][j] 表示 S1 的前 i 个字符与 S2 的前 j 个字符最长公共子序列的长度。考虑 S1i 与 S2j 值是否相等，分为两种情况：

• 当 S1i==S2j 时，那么就能在 S1 的前 i-1 个字符与 S2 的前 j-1 个字符最长公共子序列的基础上再加上 S1i 这个值，最长公共子序列长度加 1，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 当 S1i != S2j 时，此时最长公共子序列为 S1 的前 i-1 个字符和 S2 的前 j 个字符最长公共子序列，或者 S1 的前 i 个字符和 S2 的前 j-1 个字符最长公共子序列，取它们的最大者，即 dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }。

综上，最长公共子序列的状态转移方程为：

 

 

 

对于长度为 N 的序列 S1 和长度为 M 的序列 S2，dp[N][M] 就是序列 S1 和序列 S2 的最长公共子序列长度。

与最长递增子序列相比，最长公共子序列有以下不同点：

• 针对的是两个序列，求它们的最长公共子序列。
• 在最长递增子序列中，dp[i] 表示以 Si 为结尾的最长递增子序列长度，子序列必须包含 Si ；在最长公共子序列中，dp[i][j] 表示 S1 中前 i 个字符与 S2 中前 j 个字符的最长公共子序列长度，不一定包含 S1i 和 S2j。
• 在求最终解时，最长公共子序列中 dp[N][M] 就是最终解，而最长递增子序列中 dp[N] 不是最终解，因为以 SN 为结尾的最长递增子序列不一定是整个序列最长递增子序列，需要遍历一遍 dp 数组找到最大者。

1143. 最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int n1 = text1.size(),n2 = text2.size();
        if(n1 == 0 || n2 == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(n1+1,vector<int>(n2+1));
        for(int i = 1; i <= n1; i++)
            for(int j = 1; j <= n2; j++){
                if(text1[i-1] == text2[j-1])
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                else dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
            }
        return dp[n1][n2];
    }
};

2、不同的子序列：

115. 不同的子序列

给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。

一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

dp[i][j] 代表 T 前 i 字符串可以由 S前 j 字符串组成最多个数.

所以动态方程:

当 S[j] == T[i] , dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i][j-1]（S中第j个字符与T第i字符对应） + （S中第j个字符与T第i个字符不对应）

当 S[j] != T[i] , dp[i][j] = dp[i][j-1] （只能S中第j个字符与T第i个字符不对应）

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        int n1 = s.size(),n2 = t.size();
        if(n1 == 0)return 0;
        if(n2 == 0) return 1;
        //过程中可能会越界
        vector<vector<long long>> dp(n2+1,vector<long long>(n1+1));
        //初始化,t = ""时，s不论为什么都为1
        for(int j = 0; j <= n1;j++)
            dp[0][j] = 1;
        for(int i = 1; i <= n2;i++)
            for(int j = 1; j <= n1; j++)
                if(t[i-1] == s[j-1]) dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1];
                else dp[i][j] = dp[i][j-1];
        return dp[n2][n1];
    }
};