同余

定义

对于整数 \(a, b, b > 0\), 则存在唯一的整数 \(q, r\) 满足 \(a = bq + r\)
其中 $0 \leqslant r < b $。
其中称 \(q\) 为商, $ r $ 为余数。
余数用 $ a \bmod b $ 表示。
若两数 \(a, b\) 除以 \(c\) 的余数相等,则称\(a,b\) 模 $ c $ 同余，记做 \(a \equiv b \pmod{c}\)。

性质

\((1)\) $a \equiv b \pmod{c} \Leftrightarrow c | ( a − b ) $
推论：若 \(a \equiv b \pmod{c}, d|c\), 则 \(a \equiv b \pmod{d}\)
\((2)\) 有待添加(其实是太多了,不想证)

证明性质1

充分性:
由\(a \equiv b \pmod{c}\)
得 \(a = kc + b , k \in Z\)
所以 \(a - b = kc\)
所以 $c | kc \Leftrightarrow c | ( a − b ) $
必要性:
由 $c | ( a − b ) $
得 \(a - b = kc , k \in Z\)
所以 \(a = kc + b , k \in Z\)
所以 \(a = kc + b , k \in Z \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{c}\)

证明推论

由\(a \equiv b \pmod{c}\)
得 \(a = kc + b , k \in Z\)
又因为 \(d|c\)
所以 \(c = qd, q \in Z\)
所以 \(a = kqd + b, k \in Z, q \in Z\)
所以 \(a \equiv b \pmod{d}\)