整除

定义

若 $ a = bk $ , 其中 $ a \in Z, b \in Z, k \in Z $, 则称 $ b $ 整除 $ a $ , 记做 $ b | a $.
也称 $ b $ 是 $ a $ 的约数(因数), $ a $ 是 $ b $ 的倍数

性质

\((1)\) $ 1 $ 整除任何数 $ ( 1 | k ) , k \in Z$ , $ 0 $ 被任何数整除 $ ( k | 0), k \in Z $
\((2)\) 若 $ a | b $ 且 $ a | c $, 则 $ a | (b + c), a | (b - c)$
\((3)\) 若 $ a | b $, 则对于任意整数 $ c $ , $ a | bc $
\((4)\) 传递性：若 $ a | b $ 且 $ b | c $ , 则 $ a | c $
\((5)\) 有待添加(其实是太多了,不想证)

例题

[CF 762A] k-th divisor

证明性质1

一定存在 $ a = 1 * k , a \in Z, k \ in Z$
对于任意 $ k \in Z , \dfrac{0}{k} = 0 $.

证明性质2

因为 $ a | b $ 且 $ a | c $
设 $ b = pa, c = qa , p \in Z, q \in Z $
所以 $ \dfrac{b + c}{a} = \dfrac{pa + qa}{a} = p + q , \dfrac{b - c}{a} = \dfrac{pa - qa}{a} = p - q $
又因为 $ p \in Z, q \in Z$
所以 $ p + q \in Z, p - q \in Z$
所以 $ a | (b + c), a | (b - c)$

证明性质3

因为 $ a | b $
设 $ b = ka, k \in Z $
所以 $ \dfrac{bc}{a} = \dfrac{kac}{a} = kc$
又因为 $ k \in Z, c \in Z $
所以 $ kc \in Z $
所以 $ a | bc$

证明性质4

因为 $ a | b $ 且 $ b | c $
设 $ b = pa, c = qb, p \in Z, q \in Z$
所以 $ \dfrac{c}{a} = \dfrac{qb}{a} = \dfrac{apq}{a} = pq$
又因为 $ p \in Z, q \in Z$
所以 $ pq \in Z $
所以 $ a | c $