最小生成树_Kruskal算法

Kruskal 最小生成树算法

生成树与最小生成树

树与图的差别在于，树不包含环，而图可以包含环

生成树就是指在图中找一棵白喊所有节点的树，即是包含所有节点的无环连通子图

对于加权图而言，最小生成树就是在所有生成树中，权重和最小的那棵生成树

Kruskal算法

步骤

1. 将所有的边按升序排列

2. 从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点不在同一连通分量，则

   将这条边添加到树中，并使两点处于同意连通分量

3. 重复3，直至图中的所有节点都在树上，即同一连通分量中

证明

1. 以上步骤保证连接的点处于不同连通分量，不存在环，因此构成的是树

2. 在步骤三中，每条边在选取的当时，都是连接两个不同的连通分量的权值最小的边

3. 要证明这条边属于最小生成树，用反证法：如果这条边A不在最小生成树上，但是两

   边的连通分量一定要连接，那么存在另一种连法，另一种连法中的边B和边A可以形成

   环，而B一定是比A大的，所以将B用A替换掉，图依旧保持连通，但是总权值变小了。

   也就是说，选这条边的总权值是最小的。

4. 如果最终不能将所有点归于同一连通分量，则没有生成树

以上证明参考wiki

伪码

KRUSKAL-FUNCTION(G, w)
1    F := 空集合
2    for each 图 G 中的顶点 v
3        do 将 v 加入森林 F
4    所有的边(u, v) ∈ E依权重 w 递增排序
5    for each 边(u, v) ∈ E
6        do if u 和 v 不在同一棵子树
7            then F := F ∪ {(u, v)}
8                将 u 和 v 所在的子树合并

c++实现

#include <bits/stdc++.h>

struct DSU {
    std::vector<int> fa, sz;
    DSU(int n = 0) : fa(n), sz(n, 1) {
        std::iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
    }
    int Find(int x) { // 路径压缩
        while (x != fa[x])
            x = fa[x] = fa[fa[x]];
        return x;
    }
    bool Merge(int x, int y) { // 按秩合并
        x = Find(x), y = Find(y);
        if (x == y) return false; // 处于同一连通分量
        if (sz[x] > sz[y]) std::swap(x, y);
        fa[x] = y;
        sz[y] += sz[x];
        return true;
    }
}; // 并查集

int main() {
    int n, m; // 点数，边数
    std::cin >> n >> m;
    std::vector<std::tuple<int, int, int>> edge(m);
    // 边集，三元组分别表示边权和边的两个端点
    for (auto &[w, u, v] : edge)
        std::cin >> u >> v >> w;
    std::sort(edge.begin(), edge.end()); // 按边权升序排序
    DSU dsu(n); // 初始化并查集
    long long result = 0; // 最小生成树边权和
    for (auto &[w, u, v] : edge)
        if (dsu.Merge(u, v)) result += w;
        // 合并两个连通分量并统计答案
    std::cout << result << std::endl;
    return 0;
}