浅谈递归过程以及递归的优化

近日翻看SICP，看到递归的部分，深有感触，遂记下所想所悟，如果有批评直言，望不吝赐教。

 递归是实现程序计算过程中的描述过程的基本模式之一，在讨论递归的问题前我们必须十分小心，因为递归包含两个方面的内容，一个是递归的计算过程，一个是递归过程，后者是语法上的事实而前者是概念上的计算过程，事实上在程序上我们也许是使用循环来实现的。

一般在讨论递归的时候都喜欢用斐波那契数来作为例子，我们也不要免俗。我们将斐波那契数的定义如下图来说明：

 

实现的代码：

def Fib(n):  

    if (n<1):  

        return 0  

    elif (n<3):  

        return 1  

    else:  

        return Fib(n-1)+Fib(n-2)

我们可以看出，这个算法几乎就是对上图定义的直译，我们假设n=6，那么得到的计算过程就是，要计算Fib(6)就得计算Fib(5)和Fib(4)，以此类推，如下图：

我们可以看到过程如同一棵倒置的树，这种方式被称之为树形递归，也被称之为线性递归。这种递归的方式非常的直白，很好理解其计算过程，一般很多人写递归都会下意识的采用这种方式。但是缺点也是很明显的，从其计算过程可以看出，经过了很多冗余的计算，并且消耗了大量的调用堆栈，这个消耗是指数级增长的，经常有人说调用堆栈很容易在很短的递归过程就耗光了，多半就是采用了线性递归造成的。线性递归的过程可用下图描述，可以清晰的看到展开收拢的过程：

 

除了这种递归方式还有另外一种实现递归的方式，同样是上面的斐波那契数作为例子，这次我们不按照斐波那契的定义入手，我们从正常产生数列的过程入手来实现，0，1，的情况很简单可以直接返回，之后的计算过程就是累加，我们在递归的过程中要保持状态，这个状态要保持三个数，也就是上两个数和迭代的步数，所以我们定义的方法为

def Fib(n,b1=1,b2=1,c=3):

    if n<3:

        return 1

    else:

        if n==c:

            return b1+b2

        else:

            return Fib(n,b1=b2,b2=b1+b2,c=c+1)

这种方法我们在每一次递归的过程中保持了上一次计算的状态，所以称之为“线性迭代过程”，也就是俗称的尾递归。由于每一步计算都保持了状态所以消除了冗余计算，所以这种方式的效率明显高于前一种，其计算过程如下

fib(6)

fib  0,0,1

fib  0,1,2

fib  1,2,3

fib  2,3,4

fib  3,5,5

fib  5,8,6

这两种递归方式之间是可以转换的，凡是可以通过固定数量状态来描述中间计算过程的递归过程都可以通过线性迭代来表示。

我们可以发现，其实尾递归的过程和循环基本上是等价的，我们可以将尾递归的过程很方便到用循环来代替，所以很多的语言对尾递归提供了编译级别的优化，也就是将尾递归在编译期转化成循环的代码。不过对于没有提供尾递归优化的语言来说也是很有意义的，比如python的默认调用堆栈长度是1000，如果用线性递归很快就会消耗光，但是尾递归就不会，比如尾递归的Fib函数，用Fib(1001)调用没问题的而且跑得飞快，Fib(1002)的时候才堆栈溢出。但是如果是线性递归的方式计算n=30的时候就能明显感觉到速度变慢，40以上基本就挂了。

这里我无意对比两种方式的优劣，也许线性递归性能有差距但是它的可读性非常的强，几乎就等同于公式的直接描述，所以可以根据计算规模来合理选用。