[POJ1958][Strange Tower of Hanoi]

题目描述

求解 $n$ 个盘子 $4$ 座塔的 Hanoi 问题最少需要多少步

问题分析

考虑 $3$ 座塔的 Hanoi 问题，记 $f[i]$ 表示最少需要多少步， 则 $f[i] = 2 * f[i - 1] + 1$ ， 即把前 $n - 1$ 个盘子从 $A$ 移动到 $B$, 然后把最下面的盘子移动到 $C$， 最终把前面的 $n - 1$ 个盘子移到 $C$

考虑把4个盘子的情况转移到三个的情况，则有 $$f[i] = \min_{1 \le i < n} {2 * f[i] + d[n - i]}$$

其中 $f[1] = 1$.上式的意义是先把 $i$ 个盘子在 $4$ 她模式下移动到 $B$ 柱，然后把 $n-i$ 个盘子在 $3$塔模式下移到 $D$ 柱。最后把 $i$ 个盘子在 $4$ 塔模式下移到 $D$柱，考虑所有可能的 $I$ 取最小值，就是上述式子的意义。

推广

考虑 $n$ 个盘子在 $m$ 个塔下的最小值。式子与上述一样，增加一位表示第几种，复杂度 $n^3$