中国剩余定理

中国剩余定理

问题引入

求出一个数，使得这个数除 \(3\) 余 \(2\)， 除 \(5\) 余 \(3\)， 除 \(7\) 余 \(2\)。

问题求解

下面我们依照中国剩余定理的算法流程对这个问题进行求解，并且逐步解释其原理

对于这个问题，我们有一个比较简单的方法是：先找出每一个方程的解，再通过加其模数使之与其他方程的解的值相等

然而这样的想法是很难进行求解的，我们引入如下两个性质：

性质一：\((a + b) \bmod p = a \bmod p + b \bmod p\)

性质二：\((a * b) \bmod p = (a \bmod p) * b\)

性质一告诉我们：如果有一个数除 \(5\) 余 \(3\)，还有任意两个数被 \(5\) 整除，则这三个数的和满足除 \(5\) 余 \(3\)

那么，我们构造出三个数 \(a, b, c\) 分别满足这三个方程，并且能被其它两个数整除，那么\(a + b + c\)就是这个方程组的一个解

因此，这个问题被我们转化成了一个简单的问题：求一个 \(x\)，使得\(x \bmod 3 = 0, x \bmod 7 = 0\) 并且 \(x \bmod 5 = 3\)

显然，x会是 \(3 * 7 = 21\) 的倍数，那我们直接考虑 \((k * 21) \bmod 5 = 3\) 就行了。由性质二可以得知，我们只需将 \(21 \bmod 5\) 扩大 \((5 \times d) / (21 \bmod 5)\) 倍就行了，这个值就是 \(k\) 的值

上面这个问题（以本体为例）相等于求解一个 \(x\) 使得 \(1 * x = 3 \pmod 5\) 这个问题可以通过拓展欧几里得算法求解

以本题为例，我们写出计算过程。

1. 求出最小公倍数：\(lcm = 3 * 5 * 7 = 105\)
2. 求出个数对应基础数：
   对于第一个条件， 我们有\(105 / 3 = 35\)， \(35 \bmod 3 = 2\) 满足，则基础数为 \(35\)
   对于第二个条件， 我们有\(105 / 5 = 21\)， \(21 \bmod 5 = 1\) 不满足，将这个式子乘 \(3\)，使得 \(63 \bmod 5 = 3\) 则基础数为 \(63\)
   对于第三个条件， 我们有\(105 / 7 = 15\)， \(15 \bmod 7 = 1\) 不满足，与上一个步骤相同，乘 \(2\) 得到基础数为 \(30\)
   把基础数相加: \(35 + 63 + 30 = 128\)
3. 减去最小公倍数(在比最小公倍数大的情况下)
   得到\(x = 128 - 105 = 23\)

数学模型

设 \(m_1, m_2, \cdots, m_n\) 是两两互质的整数，\(m = \prod_{i = 1}^nm_i, M_i = m / m_i\) ，\(t_i\) 是线性同余方程 \(M_it_i = 1 \pmod m_i\) 的一个解，对于任意的 \(n\) 个数 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\)， 方程组 $$x = a_i \pmod m_i$$有整数解，解为 \(x = \sum_{i = 1}^na_iM_it_i\)

证明

因为 \(M_i = m / m_i\) 是除 \(m_i\) 意外所有数的倍数，所以 \(\forall k \not= i, a_iM_it_i = 0 \pmod m_k\), 又因为 \(a_iM_it_i = a_i \pmod m_i\) 所以带入 \(x\)， 原方程成立

代码

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) { y = 0, x = 1; return a; }
    int d = exgcd(b, a%b, y, x);
    return y = y - x * (a / b), d;
}

ll base[maxn], ans[maxn];
ll M = 1;

inline void CRT() {
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) base[i] = M / a[i];
    ll y;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        exgcd(base[i], a[i], ans[i], y);
        (res += ans[i] * b[i] * base[i]) %= M;
    }
    printf("%lld", (res + M) % M);
}