中国剩余定理

中国剩余定理

问题引入#

求出一个数，使得这个数除 $3$ 余 $2$， 除 $5$ 余 $3$， 除 $7$ 余 $2$。

问题求解#

下面我们依照中国剩余定理的算法流程对这个问题进行求解，并且逐步解释其原理

对于这个问题，我们有一个比较简单的方法是：先找出每一个方程的解，再通过加其模数使之与其他方程的解的值相等

然而这样的想法是很难进行求解的，我们引入如下两个性质：

性质一：$(a + b) \bmod p = a \bmod p + b \bmod p$

性质二：$(a * b) \bmod p = (a \bmod p) * b$

性质一告诉我们：如果有一个数除 $5$ 余 $3$，还有任意两个数被 $5$ 整除，则这三个数的和满足除 $5$ 余 $3$

那么，我们构造出三个数 $a, b, c$ 分别满足这三个方程，并且能被其它两个数整除，那么$a + b + c$就是这个方程组的一个解

因此，这个问题被我们转化成了一个简单的问题：求一个 $x$，使得$x \bmod 3 = 0, x \bmod 7 = 0$ 并且 $x \bmod 5 = 3$

显然，x会是 $3 * 7 = 21$ 的倍数，那我们直接考虑 $(k * 21) \bmod 5 = 3$ 就行了。由性质二可以得知，我们只需将 $21 \bmod 5$ 扩大 $(5 \times d) / (21 \bmod 5)$ 倍就行了，这个值就是 $k$ 的值

上面这个问题（以本体为例）相等于求解一个 $x$ 使得 $1 * x = 3 \pmod 5$ 这个问题可以通过拓展欧几里得算法求解

以本题为例，我们写出计算过程。

1. 求出最小公倍数：$lcm = 3 * 5 * 7 = 105$
2. 求出个数对应基础数：
   对于第一个条件， 我们有$105 / 3 = 35$， $35 \bmod 3 = 2$ 满足，则基础数为 $35$
   对于第二个条件， 我们有$105 / 5 = 21$， $21 \bmod 5 = 1$ 不满足，将这个式子乘 $3$，使得 $63 \bmod 5 = 3$ 则基础数为 $63$
   对于第三个条件， 我们有$105 / 7 = 15$， $15 \bmod 7 = 1$ 不满足，与上一个步骤相同，乘 $2$ 得到基础数为 $30$
   把基础数相加: $35 + 63 + 30 = 128$
3. 减去最小公倍数(在比最小公倍数大的情况下)
   得到$x = 128 - 105 = 23$

数学模型#

设 $m_1, m_2, \cdots, m_n$ 是两两互质的整数，$m = \prod_{i = 1}^nm_i, M_i = m / m_i$ ，$t_i$ 是线性同余方程 $M_it_i = 1 \pmod m_i$ 的一个解，对于任意的 $n$ 个数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$， 方程组 $$x = a_i \pmod m_i$$ 有整数解，解为 $x = \sum_{i = 1}^na_iM_it_i$

证明#

因为 $M_i = m / m_i$ 是除 $m_i$ 意外所有数的倍数，所以 $\forall k \not= i, a_iM_it_i = 0 \pmod m_k$, 又因为 $a_iM_it_i = a_i \pmod m_i$ 所以带入 $x$， 原方程成立

代码#

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ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) { y = 0, x = 1; return a; }
    int d = exgcd(b, a%b, y, x);
    return y = y - x * (a / b), d;
}

ll base[maxn], ans[maxn];
ll M = 1;

inline void CRT() {
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) base[i] = M / a[i];
    ll y;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        exgcd(base[i], a[i], ans[i], y);
        (res += ans[i] * b[i] * base[i]) %= M;
    }
    printf("%lld", (res + M) % M);
}